Олимпиада по математике 5-8 кл

2 класс

1. Одна девочка любит колокольчики, другая – ромашки, а третья – васильки. Таня: Я люблю колокольчики (это неправда). Оля: Я не люблю васильки (это неправда). Вера: Я люблю не васильки (это правда). Догадайся, какие цветы любит Вера. (Колокольчики)
   
   
   

2. Продолжи числовой ряд: 6, 8, 11, 15, 20, ... , ...

3. У папы есть 13 карандашей. У Димы - только 7 карандашей. Сколько карандашей папа должен отдать Диме, чтобы и у папы, и у Димы карандашей стало поровну?

4. . Напиши все возможные варианты двухзначных чисел, образованных из цифр 4, 5, 6, причем эти цифры не могут повторяться. Сколько всего чисел получилось?

5. Дети решили измерить длину бревна. У Пети получилось 12 шагов, у Васи - 14 шагов, а у Коли - 11 шагов. Чей шаг самый длинный?
   
   
   

2 класс

1. Одна девочка любит колокольчики, другая – ромашки, а третья – васильки. Таня: Я люблю колокольчики (это неправда). Оля: Я не люблю васильки (это неправда). Вера: Я люблю не васильки (это правда). Догадайся, какие цветы любит Вера. (Колокольчики)
   
   
   

2. Продолжи числовой ряд: 6, 8, 11, 15, 20, ... , ...

3. У папы есть 13 карандашей. У Димы - только 7 карандашей. Сколько карандашей папа должен отдать Диме, чтобы и у папы, и у Димы карандашей стало поровну ?

4. Напиши все возможные варианты двухзначных чисел, образованных из цифр 4, 5, 6, причем эти цифры не могут повторяться. Сколько всего чисел получилось?

5. Дети решили измерить длину бревна. У Пети получилось 12 шагов, у Васи - 14 шагов, а у Коли - 11 шагов. Чей шаг самый длинный?
   
   
   

3 класс

1. Возраст дедушки выражается наименьшим трехзначным числом, которое записывается различными цифрами. Сколько лет дедушке?

2. В двух залах 50 стульев. Когда из одного зала 10 стульев вынесли, то в залах стульев осталось поровну. Сколько стульев было в каждом зале первоначально?

3. Ваня живёт выше Пети, но ниже Сени, а Коля живёт ниже Пети. На каком этаже четырёхэтажного дома живёт каждый из них?

4. Начертите квадрат. Расставьте на его сторонах 8 точек так, чтобы на каждой стороне было по 3 точки.

5. Запиши все двузначные числа, используя цифры 1, 2, 3 (цифры в записи числа не должны повторяться) и найди сумму этих чисел.

                                                                                                                                                             3 класс

1. Возраст дедушки выражается наименьшим трехзначным числом, которое записывается различными цифрами. Сколько лет дедушке?

2. В двух залах 50 стульев. Когда из одного зала 10 стульев вынесли, то в залах стульев осталось поровну. Сколько стульев было в каждом зале первоначально?

3. Ваня живёт выше Пети, но ниже Сени, а Коля живёт ниже Пети. На каком этаже четырёхэтажного дома живёт каждый из них?

4. Начертите квадрат. Расставьте на его сторонах 8 точек так, чтобы на каждой стороне было по 3 точки.

5. Запиши все двузначные числа, используя цифры 1, 2, 3 (цифры в записи числа не должны повторяться) и найди сумму этих чисел.

4 класс

1. Чашка и блюдце стоят 250 рублей, 4 чашки и 3 блюдца стоят 887 рублей. Найди Цену чашки и блюдца в отдельности

2. Начерти прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Найди его периметр и площадь. Раздели прямоугольник на 8 равных треугольников.

3. Из чисел 4, 6, 9, 270 составь пример ?:?-?•?=6

4. Длина забора 20 метров. Сколько в заборе столбов, если столб от столба стоит на расстоянии двух метров?

5. В каждой цепочке чисел найди закономерность и вставь пропущенные числа.
   1) 3, 6, __, 12, 15, 18.
   2) 1, 8, 11, 18, ___, 28, 31.
   3) 2, 2, 4, 4, ___, 6, 8, 8.
   4) 24, 21, ___, 15, 12.
   5) 65, 60, 55, ____, 45, 40, 35.
   6) 20, ___, 21, 15, 22, 14, 23, 1
   7) 2,1, 3, 2, 4, 3, ___, 4, 6.
   8) 45, 36, 28, 21, ____, 10, 6.

1. класс

1. Чашка и блюдце стоят 250 рублей, 4 чашки и 3 блюдца стоят 887 рублей. Найди Цену чашки и блюдца в отдельности

2. Начерти прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Найди его периметр и площадь. Раздели прямоугольник на 8 равных треугольников.

3. Из чисел 4, 6, 9, 270 составь пример ?:?-?•?=6

4. Длина забора 20 метров. Сколько в заборе столбов, если столб от столба стоит на расстоянии двух метров?

5. В каждой цепочке чисел найди закономерность и вставь пропущенные числа.
   1) 3, 6, __, 12, 15, 18.
   2) 1, 8, 11, 18, ___, 28, 31.
   3) 2, 2, 4, 4, ___, 6, 8, 8.
   4) 24, 21, ___, 15, 12.
   5) 65, 60, 55, ____, 45, 40, 35.
   6) 20, ___, 21, 15, 22, 14, 23,

7) 2,1, 3, 2, 4, 3, ___, 4, 6.
8) 45, 36, 28, 21, ____, 10, 6.

Решения и ответы к заданиям 2 класса

1. Колокольчики

2. 6, 8, 11, 15, 20, 26, 33

3. 13+7=20

20:2=10

13-3=10

7+3=10

1. 45, 46, 54, 56, 64,65

2. У Коли

Решения и ответы к заданиям 3 класса

1. 102

2. 50-10=40

40:2=20

20=10=30 ответ: 20 и 30

1. Коля-1, Петя-2, Ваня-3, Сеня-4

2. По 3 точки

3. 12+13+21+23+31+32= 132

Решения и ответы к заданиям 4 класса

1. 1) 250•3=750 (руб) стоят 3 чашки и 3 блюдца

2) 887-750=137 (руб) стоит одна чашка

3) 250-137=113 (руб) стоит одно блюдце

2. Р=28, S=12

3. 270:9-4*6=6

4. | 2м | 2м | 2м | 2м | 2м | 2м | 2м | 2м | 2м | 2м | 20:2+1=11 столбов

5. 1) 3, 6, __9, 12, 15, 18.
2) 1, 8, 11, 18, _21__, 28, 31.
3) 2, 2, 4, 4, __6_, 6, 8, 8.
4) 24, 21, __18_, 15, 12.
5) 65, 60, 55, __50__, 45, 40, 35.
6) 20, __16_, 21, 15, 22, 14, 23, 13.
7) 2,1, 3, 2, 4, 3, __5_, 4, 6.

8) 45, 36, 28, 21, 15, 10, 6

5 класс. 2015

1. В записи 5*6*7*8 замените звездочки знаками действий так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 39.

2. Пять рабочих упаковали 5 коробок за 5 минут. Сколько рабочих нужно для упаковки 50 коробок за 50 минут?

3. Дед вдвое сильнее бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дед, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка с Мышкой могут вытащить репку, а без Мышки - не могут. Сколько надо мышек, чтобы они сами смогли сами вытащить Репку?

4. Каким образом можно из реки принести ровно 6 литров воды, если имеется только два ведра: одно емкостью 4 литра, другое 9 литров.

5. Тремя прямыми разделите рисунок на 7 частей так, чтобы в каждой части было по одному кружочку.

5 класс. 2015

1. В записи 5*6*7*8 замените звездочки знаками действий так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 39.

2. Пять рабочих упаковали 5 коробок за 5 минут. Сколько рабочих нужно для упаковки 50 коробок за 50 минут?

3. Дед вдвое сильнее бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дед, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка с Мышкой могут вытащить репку, а без Мышки - не могут. Сколько надо мышек, чтобы они сами смогли сами вытащить Репку?

4. Каким образом можно из реки принести ровно 6 литров воды, если имеется только два ведра: одно емкостью 4 литра, другое 9 литров.

5. Тремя прямыми разделите рисунок на 7 частей так, чтобы в каждой части было по одному кружочку.

Решения заданий 5 класса

1. 5+6*7-8=39

2. Те же 5 рабочих, так как каждый рабочий упаковывает одну коробку за 1 минуту.

3. х-Мышка, 6х-Кошка, 30х- Жучка, 120х- Внучка, 360х- Бабка, 720х-Дед, всего 1+6+30+120+360+720=1237 мышек.

4 л.	0	4	0		0	4	3	3	0	4	0	4	2	2	0	4	0
9 л.	0	0	4	4	8	8	9	0	3	3	7	7	9	0	2	0	6

Решения заданий 6 класса

1. Ответ. 2000, 2001, 2004, 2007 и 2010.
   Критерии. Все числа от 2000 до 2015 должны быть проверены. Можно делить непосред-
   ственно или проверять наличие/отсутствие делимости с помощью признаков делимости.
   Все признаки делимости можно использовать без доказательства.
   Проверка только чисел, включенных в ответ выше –– не более 4 баллов. Каждый пропу-
   щенный ответ или неправильное число, включенное в ответ, дает штраф в 2 балла.

2. Решение. Обозначаем мужа большой буквой, его жену –– такой же малой, → рейс на пра-
   вый берег, ← рейс обратно, первый в паре –– гребец. Составы на берегах пишем по завершении рейса.
   Рейсы БА→ А← Вв→ Б← Аа→ В← Бб→ А← ВА→
   Левый берег aбВв АaбВв Аaб АаБб Бб БбВ В АВ ––
   Правый берег AБ Б БВв Вв АаВв Аав АаБбв аБбв АаБбВв
   Критерии. Если приведен удовлетворяющий условию задачи порядок и состав переправ
   (первая строка таблицы) без проверки, что он во всем подходит –– штраф не более 1 балла.
   То же, но в составе не указано, кто гребет –– штраф 2 балла.
   Любой алгоритм с ошибкой (нарушением какого-либо условия) –– 0 баллов. За более
   длинные правильные

3. Ответ. 54 конфеты.
   Решение. Пусть, съев 3 конфеты, Гена разложил остальные поровну в 3 пакета, и отдал
   Чебурашке один пакет. Чтобы восстановить число конфет у Гены, Чебурашка должен отдать
   Гене на 3 конфеты больше, чем получил от него (Гена же еще 3 съел). Поэтому Чебурашка
   отдал Гене пакет плюс 3 конфеты. Значит, после съедения трёх конфет у Чебурашки остава-
   лось втрое больше: 3 пакета и 9 конфет. Итого, 100 − 3 − 3 = 94 конфеты после двух съедений
   состоят из 5 пакетов и ещё 9 конфет. Отсюда в 5 пакетах 85 конфет, а в одном –– 17 конфет.
   Поэтому изначально у Гены было 3 · 17 + 3 = 54 конфеты.
   Критерии. Приведен верный ответ и проверено, что в этом случае все сходится, но другие
   варианты ответа не проверялись –– 2 балла. Обосновывать единственность ответа можно как
   угодно: логически, с помощью делимости, алгебраически.

4. Владимир преподает литературу в Перми, Игорь - физику в Уфе, Сергей - математику в Москве.

11	6	7
4	8	12
9	10	5

11	4	9
6	8	10
7	12	5

                            

1. класс 2015

1. Найдите все целые числа с 2000 по 2015, которые делятся на свою сумму цифр.

2. Трое мужчин с женами хотят переправиться с левого берега реки на правый. Есть двух- местная лодка с одним местом для гребца и одним –– для пассажира. Грести могут только мужчины. Рейс –– это пересечение реки, и нельзя грести 2 рейса подряд. Если женщины оказывается на берегу или в лодке вдвоём с кем-нибудь (без третьих лиц), то этот второй должен быть её мужем. Как им всем переправиться? (Когда лодка достигает берега, сначала все обязаны из неё высадиться).

3. Перед Геной и Чебурашкой –– по кучке конфет, всего 100 штук. Сначала Гена съел у себя 3 конфеты, а треть оставшихся отдал Чебурашке. Потом Чебурашка съел у себя 3 конфеты и отдал треть остатка Гене. Теперь у Гены столько же конфет, сколько вначале. Сколько?0

	8
		5

4. Три друга – Владимир, Игорь и Сергей – преподают математику, физику и литературу в школах Перми, Москвы и Уфы. Владимир работает не в Москве, Игорь - не в Перми, пермяк преподает литературу, москвич – не физику, Игорь – не математику. Какой предмет и в каком городе преподает каждый?

5. В клетках расставьте числа 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12 так, чтобы по любому направлению получить в сумме 24.

6 класс 2015

1. Найдите все целые числа с 2000 по 2015, которые делятся на свою сумму цифр.

2. Трое мужчин с женами хотят переправиться с левого берега реки на правый. Есть двух- местная лодка с одним местом для гребца и одним –– для пассажира. Грести могут только мужчины. Рейс –– это пересечение реки, и нельзя грести 2 рейса подряд. Если женщины оказывается на берегу или в лодке вдвоём с кем-нибудь (без третьих лиц), то этот второй должен быть её мужем. Как им всем переправиться? (Когда лодка достигает берега, сначала все обязаны из неё высадиться).

3. Перед Геной и Чебурашкой –– по кучке конфет, всего 100 штук. Сначала Гена съел у себя 3 конфеты, а треть оставшихся отдал Чебурашке. Потом Чебурашка съел у себя 3 конфеты и отдал треть остатка Гене. Теперь у Гены столько же конфет, сколько вначале. Сколько?

	8
		5

4. Три друга – Владимир, Игорь и Сергей – преподают математику, физику и литературу в школах Перми, Москвы и Уфы. Владимир работает не в Москве, Игорь - не в Перми, пермяк преподает литературу, москвич – не физику, Игорь – не математику. Какой предмет и в каком городе преподает каждый?

5. В клетках расставьте числа 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12 так, чтобы по любому направлению получить в сумме 24.

Задания 7-8 класса 2015

1. Двое учащихся высокий и маленький вышли одновременно из одного и того же дома в одну школу. У маленького шаг короче на 20%, чем у высокого. Но зато он успевал за одно и тоже время сделать на 20% больше шагов, чем его товарищ. Кто из них раньше пришел в школу?

2.Востановите запись ТЭТА+БЭТА=СУММА, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры. ( Найдите все решения и докажите что других нет).

3. «Во время игры в шахматы у меня осталось фигур в три раза меньше, чем у соперника, и в шесть раз меньше, чем свободных клеток на доске, но я все равно выиграл партию!»- сказал Винтик Шпунтику. « А у меня, в одной из партий, фигур осталось в пять раз меньше, чем у соперника, и в десять раз меньше, чем свободных клеток на доске, и все-таки я сумел победить!»- в свою очередь рассказал Шпунтик. Чьему рассказу можно верить и почему?

4. Докажите, что разность - делится на 10.

5. Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на 2009 прямоугольников периметра 2?

Задания 7-8 класса

1. Двое учащихся высокий и маленький вышли одновременно из одного и того же дома в одну школу. У маленького шаг короче на 20%, чем у высокого. Но зато он успевал за одно и тоже время сделать на 20% больше шагов, чем его товарищ. Кто из них раньше пришел в школу?

2.Востановите запись ТЭТА+БЭТА=СУММА, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры. ( Найдите все решения и докажите что других нет).

3. «Во время игры в шахматы у меня осталось фигур в три раза меньше, чем у соперника, и в шесть раз меньше, чем свободных клеток на доске, но я все равно выиграл партию!»- сказал Винтик Шпунтику. « А у меня, в одной из партий, фигур осталось в пять раз меньше, чем у соперника, и в десять раз меньше, чем свободных клеток на доске, и все-таки я сумел победить!»- в свою очередь рассказал Шпунтик. Чьему рассказу можно верить и почему?

4. Докажите, что разность - делится на 10.

5. Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на 2009 прямоугольников периметра 2?

8 класс

1. В трехзначном числе зачеркнули цифру в разряде сотен, затем полученное двухзначное число умножили на 7 и вновь получили исходное трехзначное число. Какое это число?

2. Может ли сумма 100 последовательных нечетных чисел быть девятой степенью

натурального числа?

3. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?

4. ABCD – квадрат. Треугольники АМD и AKB – равносторонние (см. рис.). Верно ли, что точки С, М и K лежат на одной прямой?

5. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна тройка?

8 класс

1. В трехзначном числе зачеркнули цифру в разряде сотен, затем полученное двухзначное число умножили на 7 и вновь получили исходное трехзначное число. Какое это число?

2. Может ли сумма 100 последовательных нечетных чисел быть девятой степенью

натурального числа?

3. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?

4. ABCD – квадрат. Треугольники АМD и AKB – равносторонние (см. рис.). Верно ли, что точки С, М и K лежат на одной прямой?

5. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна тройка?

Решения

8 класс

1. Пусть - десятичная запись исходного числа, тогда 7 = . Так как

=100a + , то, разделив обе части на 2, получим равенство: 3 = 50a . Числа 50 и 3 взаимно просты, поэтому a делится на 3. С нуля трехзначное число начинаться не может. Если a =6 или a = 9, то число не будет двузначным, поэтому a= 3, =50.

Отметим, что возможны «переборные» решения, основанные на том, что при умножении числа на 7 не изменилась последняя цифра, поэтому c = 0 или c= 5. Кроме того, из условия задачи следует, что a 7.

Ответ: 350.

2. Пусть n-99; n-97; …; n-3; n-1; n+1; n+3; n+97; n+99 сто последовательных нечетных чисел. Их сумма S = 100 n=10 n. При n=10 , S=10 .

3. Ответ: девочка.

Пусть у Антона x одноклассниц, тогда одноклассников – 4x. Предположим, что Женя – мальчик, тогда одноклассниц и одноклассников у него столько же, сколько у Антона. Из условия задачи следует, что 4x – x = 17. Так как 17 не делится на 3, то это уравнение не имеет натуральных решений, то есть наше предположение неверно.

Предположим, что Женя – девочка, тогда у нее (x – 1) одноклассница и (4x + 1) одноклассник. Следовательно, (4x + 1) – (x – 1) = 17  4x – x + 2 = 17  x = 5. Таким образом, при таком предположении условие задачи выполняется.

4.Ответ: да, верно.

Проведем отрезки МK и MC и докажем, что КМС – развернутый (см. рис.). Так как сторона каждого равностороннего треугольника равна стороне квадрата, то треугольники КАМ и MDС – равнобедренные с основаниями КМ и MС соответственно. Заметим, что КAМ = КAB + BAМ = 60° + 30° = 90°, а РMDС = 30°. Следовательно, РКМА = 45°, РDМС = 75°. То есть, КМС = РКМА +РАМD +РDМС = 45° + 60° + 75° = 180°, то есть, точки С, М и K лежат на одной прямой.

5. Если в записи числа нет тройки, то на первом месте может стоять любая цифра, кроме 0 и3, на двух других местах - любая цифра, кроме 3. Значит, всего имеется 8 9 9=648. Всего трехзначных чисел 999-99 =900. А значит трехзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна тройка 252.

Ответ: 252.

Решения

7-8 класс

1.

	Длина шага	Количество шагов	Пройденный путь
Высокий	x	y	xy
Маленький	0,8x	1,2y	0,96xy

Ответ: высокий.

2. Очевидно, А=0 (по последней цифре), С=1.Далее нужно рассмотреть два случая: 2Т=М и 2Т=М+10. Легко установить, что второй случай не удовлетворяет условию. В результате находим: А=0, С=1, Т=4, М=8, Э=9, У=2, Б=7.

Ответ: 4940+7940=12880.

3. Пусть истинно высказывание Винтика, тогда должно выполняться равенство:

n + 3n + 6n =64, где n – количество фигур, оставшихся у Винтика. Так как n – натуральное число, то равенство выполняться не может, то есть рассказу Винтика верить нельзя.

Аналогично, если истинно высказывание Шпунтика, то должно выполняться равенство

m +5m+ 10m = 64, где m- количество фигур, оставшихся у Шпунтика. Это равенство верно при m= 4, но так у соперника в этом случае должно остаться 20 фигур, а количество шахматных фигур одного цвета во время партии не может быть больше 16, то рассказу Шпунтика также нельзя верить.

Ответ: ни одному из рассказов нельзя верить.

4. Последние цифры степеней оканчиваются на 9, поэтому разность оканчивается 0.

5. В общем виде: для того, чтобы разрезать данный квадрат на n прямоугольников с периметром 2 достаточно

1) вырезать 4 «окаймляющих» прямоугольника со сторонами x и 1-x. Причем x находим из п.2.

2) разбиваем «центральный квадрат» на n-4 одинаковых прямоугольника. Периметр

каждого из них равен 2. Периметр каждого из них равен 2(1-2 x) + 2 .

Решая уравнение, находим x = .

			…