ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ УРОВНЯ 7 класс.

РЕШИТЕ:

1. Найти сумму _

Решение.

_

1/n*(n+1) = 1/n – 1/n+1

1/1 * 2 + ½ * 3 + 1/3 * 4 + … 1/2006 * 2007 = 2-1/1*2 + 3-2/2*3 +4-3/3*4 + … + 2007-2006/2006*2007 = 1/1 ½ +1/2 – 1/3 + 1/3 – ¼ + … + 1/2006 – 1/2007 = 1-1/2007= 2006/2007

Ответ: 2006/2007

1. Имеется 2007 переключателей. Изначально все они выключены. Разрешается выбрать любые два и перевернуть их в противоположное положение (т. е. выключенные включить, а включенные выключить). Можно ли, проделав несколько раз эту операцию, привести их во включенное состояние?

Решение. Нет, невозможно. Изначально включено чётное число переключателей, а именно 2, за одну операцию количество включенных переключателей изменяется на чётное число. Следовательно, за любое число операций можно изменить количество включенных переключателей лишь на четное число, а число 2007 является нечётным.

Ответ: невозможно.

1. В трапеции ABCD, AD – большее основание, ВС – меньшее, АС – биссектриса угла А. Доказать, что ∆АВС – равнобедренный.

Решение. Из свойств равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ∆АВС – равнобедренный. ⦟CAD = ⦟ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых.

Ответ: ∆АВС – равнобедренный, что и требовалось доказать.

1. Существуют ли четыре натуральных числа, сумма и произведение, которых нечетны?

Решение. Не существуют таких четырех натуральных чисел сумма и произведение, которых нечетны, поскольку если произведение нескольких натуральных чисел нечётно, то, значит, все эти числа нечётны, а сумма четырех нечётных чисел четна. Для того, чтобы их произведение было нечётным, нужно, чтобы они оба были нечётными. Но тогда их сумма будет чётной. Противоречие.

Ответ: не существует.

1. Какой цифрой оканчивается десятичная запись числа

_, где х € N.

Решение. 14^х + 14^х+1 + 14^2х, где х€ N.

Последняя цифра произведения определяется последними цифрами множителей.

4*4            =...6
4*4*4         =...4
4*4*4*4      =...6
4*4*4*4*4   =...4

Проанализируем четверку на х-четное или нечетное. Получаем:
1) При х=1  14*(15+14)=14*29 = 406
   и все нечетные 14^x дадут 4 в результате в скобках получим 4+5=9,
   а произведение 9*4=...6
2) При х =2 14^2(15+14^2)=196*(15+196) = 196*211 = 41 356
   и все четные 14^х дадут 6. В скобках получим 6+5=1.  А 1*6=6.
В результате получаем, что произведение всегда будет оканчивается  цифрой 6 (шесть).

Вывод: Если число оканчивается цифрой 4, то четная степень оканчивается цифрой 6, а нечетная – цифрой 4. Следовательно, одно из первых двух слагаемых оканчивается четверкой, а другое – шестеркой. Третье слагаемое оканчивается на 6, значит, десятичная запись суммы оканчивается на 6.

Ответ: цифрой 6.