Россия, п. Заполярный
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 04.12.2023 10:50
Колесник Марина Анатольевна
Репетитор по математике
58 лет
53 919
345 
Местоположение
Специализация
Основные свойства числовых неравенств
Категория:
Алгебра
11.03.2018 22:24
Просмотр содержимого документа
«Основные свойства числовых неравенств»
Свойства числовых неравенств
Для рассмотрения свойств числовых неравенств вспомним определение.
Числовое неравенство – это неравенство, в записи которого по обе стороны от знака неравенства находятся числа или числовые выражения.
На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств. Они вытекают из введённого нами понятия неравенства.
Ранее мы рассмотрели правило сравнения числовых выражений с помощью разности, но говорили тогда о строгих неравенствах. Аналогичные правила распространяются и на нестрогие неравенства:
Число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число, т.е.
.Число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число, т.е.
Перейдём к обзору свойств числовых неравенств.
Обзор начнём с трёх основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.
Для строгих числовых неравенств характерны свойства:
Свойство антирефлексивности, выражающееся в том, что для любого числа a неравенства
и 
– неверные.
Действительно, известно, что для любого числа a выполняется равенство 
, откуда в силу разностного определения равных чисел следует равенство 
. Следовательно, и – неверные неравенства.
Свойство антисимметричности: если числа a и b такие, что
, то 
, и если 
, то 
.
Обоснуем его. Так как , то 
. При этом 
, как число, противоположное отрицательному числу 
. Следовательно, .
Предлагаю вторую часть этого свойства доказать самостоятельно.
Например: если 
, то 
,
если 
, то 
.
Заметим, что свойство антисимметричности позволяет читать неравенства как слева направо, так и справа налево. А точнее на его базе можно менять местами части числового неравенства, изменив при этом знак неравенства на противоположный (, а на
Свойство транзитивности: если числа a, b и c таковы, что
и 
, то 
, и если и 
, то 
.
Докажем это. Условия и означают, что и 
. Разность 
можно представить как как сумма двух отрицательных чисел. Таким образом, 
, ч.т.д.
Вторую часть этого свойства также предлагаю доказать самостоятельно.
Например, из неравенств 
и 
можно заключить, что 
. Аналогично, из числовых неравенств 
и 
вытекает, что 
.
Для нестрогих числовых неравенств характерны свойства:
Свойство рефлексивности, выражающееся в том, что для любого числа а
и 
– верные неравенства;
Свойство антисимметричности: если числа a и b такие, что
то 
, и если 
, то 
.
Свойство транзитивности: если числа a, b и c таковы, что
и 
, то 
, а также, если и 
, то 
.
Будьте любезны, проведите доказательство этих свойств самостоятельно!
Другие важные свойства числовых неравенств.
Дополним основные свойства числовых неравенств ещё серией результатов, имеющих большое практическое значение. На них основаны методы оценки значений выражений, на них базируются принципы решения неравенств и т.п. Поэтому целесообразно хорошо разобраться с ними.
Прибавление (вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства даёт верное числовое неравенство, т.е. если числа a и b таковы, что
, то для любого числа c справедливо неравенство 
.
Для доказательства составим разность левой и правой частей неравенства 
. Имеем . Следовательно, ч.т.д.
Например, а) если к обеим частям неравенства 
прибавить число 
, то получится верное числовое неравенство: 
б) если к обеим частям верного числового неравенства 
прибавить число 5, то получится верное числовое неравенство 
.
При умножении (делении) обеих частей верного числового неравенства на одно и то же положительное число, получится верное числовое неравенство, т.е. для любых чисел a и b таких, что
и 
, верно неравенство 
или 
.
Доказательство. Составим разность левой и правой частей доказываемого числового неравенства: 
, так , значит, 
и . Следовательно, 
.
Как обычно, доказательство деления обеих частей на одно и то же положительное число – самостоятельно.
При умножении (делении) обеих частей верного неравенства на отрицательное число, необходимо изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится верное неравенство, т.е. для любых чисел a и b таких, что
и 
, верно неравенство 
или 
.
Доказательство. Составим разность левой и правой частей доказываемого числового неравенства: 
, т.к. , значит, и . Следовательно, 
.
Ну-ка, догадайтесь, кто будет доказывать деление обеих частей на отрицательное число?
Например, а) умножим обе части неравенства 
на положительное число 
, получим неравенство ;
б) разделим обе части верного числового неравенства 
на отрицательное число 
, получим верное числовое неравенство
Из только что разобранного свойства умножения обеих частей числового равенства на число следуют два практически ценных результата. Так их и сформулируем в виде следствий.
Следствие 1. Если изменить знаки обеих частей числового неравенства и знак самого неравенства, то получим верное неравенство, т.е., если , то 
Например, если 
то 
Следствие 2. Если обе части числового неравенства являются положительными числами, то, заменив их обратными им числами, и изменив знак неравенства на противоположный, будет получено верное числовое неравенство. То есть, если a и b – положительные числа, причём то 
.
Доказательство. Составим разность 
, т.к. 
и 
. Значит, , ч.т.д.
Например, если 
, то .
Заметим, что для отрицательных a или b при условии неравенство может быть неверным.
Например, 
, но 
- неверное неравенство.
Записать верное неравенство, которое получится, если:
к обеим частям неравенства
прибавить число 
; число 
;из обеих частей неравенства
вычесть число ; число 
;обе части неравенства
умножить на 
; на 
; на ;обе части неравенства
разделить на 
; на 
; на ;к обеим частям неравенства
прибавить число 
; число 
;из обеих частей неравенства
вычесть число 
; число ;обе части неравенства
умножить на 
; на ; обе части неравенства
разделить на 
; на ; на ;
Известно, что
. Поставьте вместо * знак или
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Известно, что
. Расположите числа 
в порядке возрастания. Известно, что
. Сравните числа 
и 
, 
и 
.Сравнить с нулём числа
и , если известно, что:
| | |
| | |
| | |
| | |
Известно, что
. Расположите в порядке возрастания числа:
Зная, что
, сравните числа:
| | | | |
Зная, что
, сравните числа:
| | | | |
Известно, что
. Поставьте вместо * знак или
| | | | |
| | | | |
3
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
