Практическая работа "Вычисление производной элементарных функций"

``ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №11

«Вычисление производных алгебраических функций»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производных алгебраических функций».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студента.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица производных элементарных функций; микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Сформулируйте определение функции.

б) Сформулируйте правила вычисления производных алгебраических функций.

в) В чем состоит механический смысл производной?

г) Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

1. По образцу выполнить тренировочные задания.

2. Изучить условие заданий для практической работы.

3. Оформить отчет о работе.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

1. Понятие производной

Если существует конечный пределотношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к 0, то он (предел) называется производной от функции и обозначается одним из следующих символов:

Таким образом:

Действие нахождения производной называют дифференцированием.

Правила дифференцирования

1) - постоянный множитель можно выносить за знак производной

2) - производная суммы (разности)

3) - производная произведения

4) - производная от деления

1. Геометрический и физический смысл.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

(график касательной к функции 0079)

Дана непрерывная функция y = f(x), x[a; b], дифференцируема в точке x₀(a; b)и пусть кривая L – график этой функции. На кривой Lвозьмём произвольную точку М₀(x₀; y₀).

Производная функции f(x) в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику данной функции в его точке с абсциссой x₀.

k – этоtg угла наклона касательной с положительным направлением оси Ox.

Уравнение касательной к кривой L в точке (x₀; f(x₀)) и имеющей угловой коэффициент k = f(x₀)

Прямая перпендикулярная к касательной в точке М₀ называется нормаль к кривойL в точке М_0.

Угловой коэффициент нормали

Уравнение нормали к кривойL в точке М₀(x₀; f(x₀))

Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в её точке с абсциссой

Решение.

- уравнение касательной

- уравнение нормали

; - уравнение касательной

; - уравнение нормали

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Производная 1 – го порядка от пути по времени есть мгновенная скорость.

Производная 2 – го порядка от пути по времени есть ускорение.

Пример 2. Найти скорость движения точки в момент времени t = 5, если закон движения задан формулой

Решение.

Ответ: 28

ПРИМЕР 1. Решите неравенство: , если .

РЕШЕНИЕ. Пользуясь правилами дифференцирования алгебраических функций и формулами дифференцирования элементарных функций, вычислим производные:

;

.

Таким образом, нужно решить неравенство:

.

Разложим числитель дроби на множители:

.

Неравенство методом интервалов.

Нули числителя: х = 1, х = 5. Нуль знаменателя: .

О т в е т: .

ПРИМЕР 2. Тело движется по прямой согласно закону . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени .

РЕШЕНИЕ. Скорость движения – это производная от пути по времени, следовательно,

.

Значит, в момент времени скорость данного движения такова: .

Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения: .

Значит, в момент времени ускорение данного движения равно: .

О т в е т: 46; 24.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

1. Решите неравенство , если .

2. Тело движется по прямой согласно закону . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные 1 и 2 порядка функций:

а) f(x)= ; б) f(x)= ; в) f(x)= .

г)f(x)= ; д)f (x)= ; е) f(x)= ж)

и) к)

л) м) н) о)

1. Решите уравнение , если .

Вариант 2.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

г)f(x)= ; д) f (x)= ; е) f(x)=

ж) и)

к) л) +6x-7 м) о)

1. Решите неравенство , если .

Вариант 3.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) f(x)= ; б) f(x)= ; в) f(x)= .

г)f(x)= ; д)f (x)= ; е) f(x)= x+

ж) и)

к) л) м)

н) о)

1. Решите уравнение , если .

Вариант 4.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) f(x)= ; б)f(x)= ; в) f(x)=

г)f(x)= ; д)f (x)= ; е) f(x)=

ж) и)

к) л)

м) н) о)

1. Решите уравнение , если .

Вариант 5.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б)y= ; в) y= .

г)f(x)= ; д)f (x)= ; е) f(x)= ж)

и) к)

л) м) н) о)

1. Решите уравнение , если .

Вариант 6.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

_а)y= ; б) y= ; в) y=

г)f(x)= ; д)f (x)= ; е) f(x)= ж)

и) к)

л) м) н) о)

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

Вариант 7.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а)y= ; б) y= ; в)y= .

г)f(x)= ; д)f (x)= ; е) f(x)= ж)

и) к)

л) м) н) о)

1. Найдите х, при котором , если .

Вариант 8.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) y= ; б) y= ; в) y= .

г)f(x)= ; д)f (x)= ; е) f(x)= ж)

и) к)

л) м) н) о)

1. По прямой движутся две материальные точки по законам и . В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй?