Практическое занятие на тему "Вычисление пределов функций"

Практическое занятие

Тема: «Математический анализ».

Наименование работы: «Вычисление пределов функций».

Цель: сформировать умение находить пределы функций, используя теорию пределов.

Содержание

Часть 1. Теоретическая

Число А называют пределом функции f(x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от , такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Теоремы о пределах:

1. (c=const).

2. Если то:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

или

Замечательные пределы:

_{Примеры решения:}

_{Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию}.

Пределы с неопределенностью вида   и метод их решения

1) деление на х в старшей степени:

_{Пример 1:}

_{Сначала мы смотрим на числитель и находим   в старшей степени:}

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим   в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность   необходимо разделить числитель и знаменатель на   в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на 

П ример:

Найти предел

Снова в числителе и знаменателе находим   в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.

Разделим числитель и знаменатель на 

П ример:

Найти предел

Разделим числитель и знаменатель на 

при раскрытии неопределенности вида   у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

1) Разложение числителя и знаменателя на множители.

Пример :

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: Далее находим корни: Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель   уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

можно сократить на  :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

2) Умножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

П ример:

Найти предел

Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

Применяем вверху формулу  : Неопределенность   не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:

Решение данного примера в чистовом варианте выглядит так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

3) Использование 1-го замечательного предела

П ример:

Найти предел 

Выражение под знаком предела похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится  , а в знаменателе  .В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом 7х, значит, в знаменателе тоже нужно получить 7х». 
А делается это очень просто:

Пример:

Найти предел 

Пример:

Найти предел

Пример:

Найти предел

Пример:

Найти предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка:   – это иррациональное число.

В качестве параметра   может выступать не только переменная  , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример:

Найти предел 

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр  , значит, в показателе тоже нужно организовать   . Для этого возводим основание в степень  , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень  :

страшная степень превратилась в симпатичную букву  :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель:

Часть 2. Практическая

Задание: Вычислите пределы.

Вопросы к практическому занятию

1. Что называется пределом функции?

2. Перечислите теоремы о пределах.

3. Какая функция называется бесконечно большой?

4. Какая функция называется бесконечно малой?

5. Сформулируйте теорему о существовании предела функции в точке.

6. Перечислите основные технические приемы при вычислении пределов.

7. Назовите формулы двух «замечательных» пределов.