Практическая работа 1-2 . Тема: Приближенные вычисления

Цель: сформировать у студентов знания, умения и навыки работы с приближенными числами в применении формул погрешностей элементарных действий и функций, нахождения значений выражений по способу границ и методом строгого учета абсолютных погрешностей после каждой операции.

Форма организации занятия – индивидуальная.

Студент должен

знать:

• определение приближенного числа;

• определение погрешности.

уметь:

• вычислять абсолютную и относительную погрешность;

• применять формулы погрешности арифметический действий;

• применять формулы погрешности элементарных функций.

Содержание отчета о работе:

1. Отчет должен содержать:

• указание темы практической работы;

• цели;

• формулировку задания.

1. Вариант определяется согласно контрольному списку.

2. Все задания (1-3) выполняются письменно, указываются результаты всех промежуточных вычислений.

3. При оценивании учитывается правильность и аккуратность выполнения задания.

Методические указания:

е_х – абсолютная погрешность.

δ_х – относительная погрешность.

х – точное значение величины.

- приближенное значение величины (приближение)

е_х = |х - |

Пример 1. Дано число х=0,00006 и его приближение =0,00005. Найти абсолютную и относительную погрешности приближения.

Решение: e_x = | 0,00006-0,00005| = 0,00001

Ответ: абсолютная погрешность 0,00001 и относительная погрешность приближения равна 20%

Пример 2. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа х = 984,6, если оно имеет только верные цифры в строгом смысле.

Решение:

Цифры числа верны в строгом смысле, если абсолютная погрешность данного числа не превосходит половины единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра числа.

( т.к. 6 –последняя верная цифра, стоит в разряде десятых)

Ответ: абсолютная погрешность для числа х е_х=0,05

относительная погрешность числа х δ_х=0,0051

Пример 3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа х =2,364, если оно имеет только верные цифры в широком смысле.

Решение:

Цифры числа верны в широком смысле, если абсолютная погрешность данного числа не превосходит единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра числа.

е_х = 0,001 (последняя цифра 4 - разряд тысячных)

Ответ: абсолютная погрешность для числа х е_х = 0,001

относительная погрешность числа х δ_х = 0,0423%.

Погрешность округленного числа.

Пример 4: Округляя число х=1,1426 до четырех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближений. Цифры верны в широком смысле.

Решение:

По определению верной цифры в широком смысле абсолютная погрешность е_х=0,0001

Округлим число х до четырех значащих цифр: х₁=1,143

Погрешность округленного числа равна сумме погрешности исходного числа и погрешности округления:

Δ_окр=| 1,143-1,1426| = 0,0004

е_х1= 0,0004+0,0001=0,0005

Пример5: Число х, все цифры которого верны в строгом смысле округлить до трех значащих цифр после запятой. Для полученного результата х₁ вычислить границу абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х₁ указать количество верных цифр погрешности. х=1,1426

Решение:

х₁=1,143

е_х1= е_х + Δ_окр

Δ_окр= | 1,143-1,1426| = 0,0004

е_х1= 0,00005+0,0004=0,00045

Значит в числе 1,143 цифры верны в строгом смысле до тысячных по абсолютной погрешности.

Вычислительная погрешность

1. Погрешность суммирования чисел х ± е_х, у±е_у

Абсолютная погрешность:

z =( х ± е_х)+ (у±е_у)=(x + y) ± ( е_х + е_у)

Относительная погрешность:

2. Погрешность вычитания чисел х ± е_х, у±е_у

Абсолютная погрешность:

z =( х ± е_х)- (у±е_у)=(x - y) ± ( е_х + е_у)

Относительная погрешность:

3. Погрешность умножения чисел х ± е_х, у±е_у

Абсолютная погрешность:

z =( х ± е_х)* (у±е_у)=ху±уе_х±хе_у±е_хе_у ≈ ху±уе_х±хе_у

Относительная погрешность:

4. Погрешность деления чисел х ± е_х, у±е_у

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Погрешности элементарных функций.

Погрешность функции, зависящей от одной переменной.

Абсолютная погрешность:

f(х ± е_х) ≈ f(x) ± f ^’(x)e_x

Δf = f(х ± е_х) - f(х)=| f ^’(х)|e_x

Относительная погрешность:

Пример 6: Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными в строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции f(x)=cos(0,47). Определить количество верных цифр в строгом смысле по относительной погрешности. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.

Решение:

Найдем значение функции f(x)=cos(0,47)=0,891568

абсолютная погрешность:

Δf = | f ^’(х)|e_x

1) | f ^’(х)| = sin(0,47)=0,452886285

2) e_0,47=0,005

3) Δf=0,452886285*0,005=0,00226443.

Относительная погрешность:

Значит в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 0,892

Пример 7. Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции, цифры верны в строгом смысле.

, если а = 12,34, b= 14,3

Решение:

Для получения значения величины А необходимо выполнить 6 действий. Будем вычислять абсолютную погрешность после каждого действия с целью определения количества верных цифр в промежуточных результатах.

При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в таблицу

Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по избытку и тоже занесем в таблицу.

Цифры даны верными в строгом смысле, значит е_а=0,005, е_в=0,05

Найдем

Абсолютная погрешность равна

Из полученного значения погрешности видно, что в результате верны две значащие цифры после запятой, т.е.

( сохраняем одну сомнительную цифру)

Найдем

Абсолютная погрешность равна

Из полученного значения погрешности видно, что в результате верна одна значащая цифра после запятой, т.е.

( сохраняем одну сомнительную цифру)

Найдем

z =( х ± е_х)+ (у±е_у)=(x + y) ± ( е_х + е_у)= (3,513+3,78) ± (0,00071+0,0066) = 7,293 ± 0,00731

т.к. 0,00731

Найдем ln(a)= ln(12,34)=2,51285

Абсолютная погрешность:

В числе 2,512846 верны три значащие цифры после запятой, т.е.

ln(12,34)=2,512846 ≈ 2,5128( сохраняем одну сомнительную цифру)

Найдем b + ln(a ) = (14,3 + 2,5128 ) ± (0,05+0,00041) = 16,8128 ± 0,050405

Т.к. , то в числе 16,8128 верны цифры до единиц 16,8128 ≈ 16,8 (сохраняем одну сомнительную цифру)

Найдем А

Округлим результат А до двух верных цифр после запятой, получим окончательный ответ: А=0,434 (сохраняем одну сомнительную цифру)

Ответ: А = 0,434 ± 0,002

Погрешности значений элементарных функций.

Таблица 1

Задания для практического занятия №1.

Задание №1.

Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры:

а) в строгом смысле; б) в широком смысле.

Задание №2.

Число х, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата х₁≈х вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х₁ указать количество верных цифр по погрешности.

Задание № 3

Вычислить значение величины Z при заданных значениях чисел a,b,c используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z и определить по ним количество верных цифр в z, если цифры a,b,c верны в строгом смысле.

Вопросы по теме:

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

2. Как классифицируют виды погрешностей?

3. Что значит цифра, верная в строгом, широком смыслах?

4. Как находится погрешность округленного числа?

5. Как определить количество верных цифр по абсолютной погрешности.

Литература:

1. Лапчик М.П. Элементы численных методов: учебник для студ. сред. проф. образования М.:Издательский центр» Академия 2007

2. Бахвалов Н.С. , Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – С.35-75.

3. Плотников А.Д. Численные методы Минск ООО «Новое знание» 2007

4. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.:ил.