Россия, пгт. Советский
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 28.06.2025 10:13
Абибуллаева Адиле Смаиловна
преподаватель математики
40 лет
7 816
6 115 
Местоположение
Специализация
Презентация Элементы теории вероятности
Категория:
Алгебра
13.06.2023 21:27
Учебник:
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. Никольский С.М. и др. (2009, 430с.)
Просмотр содержимого документа
«Презентация Элементы теории вероятности»
Элементы теории вероятностей.
Событие,
вероятность события.
Сложение и умножение вероятностей.
Понятие о независимости событий.
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Понятие вероятности восходит к древним временам; оно было известно уже античным философам. Мысль о том, что законы природы проявляются через множество
случайных событий,
впервые возникла
у древнегреческих
материалистов.
В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости. Уже в древности игра в кости была популярна и любима.
Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Гюйгенса (1629-1695) в области теории азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Наряду с задачами азартных игр уже в самом начале возникновения теории вероятностей появились задачи, связанные с составлением таблиц смертности и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года велись точные записи о смертности.
Б . Паскаль
П . Ферма
Х . Гюйгенс
Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – так называемый закон больших чисел. Он гласит: явления, вероятностные при их малом числе, при большом количестве становятся закономерными, при очень большом – неизбежными.
Яков Бернулли
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины.
Определение:
Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта.
События (любые) обозначают большими латинскими буквами
либо теми же буквами с подстрочными индексами.
Наблюдением или опытом называют
реализацию определенных условий,
в которых событие может состояться.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Все события , за которыми люди наблюдают
или сами создают их, делятся на:
Определение
Достоверные: (Ω)
в результате опыта происходят всегда,
невозможные: (Ø)
в результате опыта никогда не произойдут,
и случайные:
в результате опыта событие
может произойти или не произойти.
! Теория вероятностей рассматривает
именно случайные события.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Другая важная характеристика событий – это их равновозможность .
Определение:
Два или бОльшее количество событий называют равновозможными , если ни одно из них не является более возможным, чем другие.
Например:
- выпадение орла или решки при броске монеты;
- выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика;
- извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из колоды.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение:
События называют несовместными , если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других событий.
Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.
Например:
– в результате броска монеты выпадет орёл; – в результате броска монеты выпадет решка.
Определение:
Два события А и называются противоположными , если не появление одного из них в результате испытания влечет появление другого ( - отрицание А ).
Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий .
далее
Ночью светит солнце
1 января – праздничный день
Равновозможные события
При броске кости выпало «7»
Невозможное событие
При броске монеты выпал «орел»
Достоверное событие
При броске монеты выпала «решка»
Случайное событие
Классическое определение вероятности
Вероятностью события А называют
отношение числа благоприятных этому
событию исходов m к числу всех
равновозможных несовместных исходов n ,
т.е.
Примеры непосредственного определения вероятностей
Свойства вероятности
Вероятность достоверного события равна единице: Р(Ω) =1
Вероятность невозможного события равна нулю: Р(Ø) =0
Вероятность случайного события
0
Примеры непосредственного определения вероятностей
ЗАДАЧА 2. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение.
Число благоприятных исходов m=100,
общее число возможных исходов n=108,
вероятность
ОТВЕТ: 0,93
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Теорема:
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1 .
Примеры непосредственного определения вероятностей
ЗАДАЧА 3. Какова вероятность того, что случайно
выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Решение.
Число благоприятных исходов m=3 (числа 12,15,18),
общее число возможных исходов n=10,
вероятность
ОТВЕТ: 0,3
Теорема
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
назад
Примеры непосредственного определения вероятностей
ЗАДАЧА 4. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся небракованными?
Решение.
А – бракованный фонарик
вероятность
Тогда противоположное событие
- небракованный фонарик
= 0,98
ОТВЕТ: 0,98
Операции над событиями
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.
Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары.
А- извлечение черного шара
В- извлечение красного шара
С- извлечение белого шара
А+В – извлечен или черный или красный шар
В+С – извлечен или красный или белый шар
А+С – извлечен или черный или белый шар
Операции над событиями
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.
Пример: происходят следующие события:
А- из колоды карт вынута ”дама”
В- вынута карта пиковой масти
А∙В – событие и А и В – вынута карта “дама пик”
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы несовместных
событий равна сумме их вероятностей:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности произведения этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
ЗАДАЧА 5. Вероятность того, что чайник прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение.
Обозначим А=;
В=
С=
А=В+С; события несовместны
р(А)=р(В)+р(С); 0,96=0,87+р(С);
р(С)=0,96-0,87= 0,09
ОТВЕТ: 0,09
ЗАДАЧА 5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
Обозначим А=;
В=
А+В=
А*В=
р(А+В)=р(А)+р(В)-р(А*В),
где р(А)=р(В)=0,3 и р(А*В)=0,12
р(А+В)=0,3+0,3-0,12=0,6-0,12=0,48
Тогда искомая вероятность p=1-0,48=0,52
ОТВЕТ: 0,52
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение :
Если наступление одного события не влияет на возможность появления другого, то такие события называются независимыми.
Теорема умножения для
независимых событий
Вероятность произведения двух
независимых событий А и В равна
произведению их вероятностей:
Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
ЗАДАЧА 6. Если гроссмейстер А. играет белыми,
то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью
0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б.
с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две
партии, причем во второй партии меняют цвет фигур.
Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение.
Обозначим С=;
D=
р(С)=0,52; р(D)=0,3; события независимы;
ОТВЕТ: 0,156
ЗАДАЧА 7. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Решение.
События равновероятны, независимы и
должны произойти «одновременно», следовательно
ОТВЕТ: 0,125
ЗАДАЧА 8. Три стрелка стреляют в цель
независимо друг от друга. Первый стрелок
попадает в цель с вероятностью 0,6, второй –
с вероятностью 0,7, а третий – с вероятностью
0,75. Найдите вероятность хотя бы одного
попадания в цель, если каждый стрелок сделает
по одному выстрелу.
Решение.
События независимы, следовательно вероятность того,
что все стрелки промахнулись равна
Значит вероятность хотя бы одного попадания в цель
p=1-0,03=0,97
ОТВЕТ: 0,97
ЗАДАЧА 9. Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Пенсионер начинает прогулку в точке А . Найдите вероятность того, что он придет в точку F .
Решение.
Вероятность попадания из точки A
в точку B равна 0,5; вероятность
попадания из точки В в точку F равна 0,25.
p(A)*p(В) =1/2*1/4=1/8= 0,125
ОТВЕТ: 0,125
Основные правила вычисления вероятностей сложных событий
Условной вероятностью P A (B) называют вероятность
события В , вычисленную в предположении, что
событие А уже наступило.
Теорема умножения для
зависимых событий
Вероятность совместного появления двух
событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первое
событие уже наступило:
P (AB) = P (A)*P A (B)
ЗАДАЧА 7. Слово "МАТЕМАТИКА"
разделено на отдельные буквы, из них
произвольным образом отбираются и
выкладываются по порядку четыре буквы.
Какова вероятность получения слова "МАМА"?
Решение.
Вероятность события, что первой будет выбрана
буква М равна 0,2; вероятность того, что далее
будет выбрана буква А составляет 3/9=1/3. Следующая
вероятность выбора буквы М равна 0,125, и, наконец,
что последней будет выбрана буква А составляет 2/7.
В итоге получаем, что вероятность получения
слова «МАМА» равна p=0,2*1/3*0,125*2/7=1/420
ОТВЕТ: 1/420
Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события A , которое может
наступить лишь при условии появления одного
из несовместных событий (гипотез) B 1 , B 2 ,…, B n ,
образующих полную группу, равна сумме
произведений вероятностей каждого из этих
событий на соответствующую условную
вероятность события A :
ЗАДАЧА 11. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из
не пристрелянного револьвера, то он попадает
в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит
10 револьверов, из них только 2 пристрелянные.
Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу
хватает первый попавшийся револьвер
и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение.
Обозначим А=;
В=
С=
ОТВЕТ: 0,68
ЗАДАЧА 12. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным . У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Решение.
ОТВЕТ: 0,0545
Повторение испытаний. Формула Бернулли
Рассматривают независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами,
которые условно называют «успех» и «неудача». Вероятность того, что при n таких
повторениях произойдет ровно k «успехов»
можно найти по формуле Бернулли ,
где вероятность появления события А в одном опыте равна p , а его непоявления равна q = 1- p .
ЗАДАЧА 13. Какова вероятность того, что
при 5 бросаниях игрального кубика
«пятерка» выпадет ровно 2 раза?
Ответ округлите до сотых.
Решение.
ОТВЕТ: 0,16
ЗАДАЧА 14. За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что при пяти выстрелах он хотя бы раз попадет в мишень .
Решение.
Обозначим
р(А)=р=0,1; q=1-0,1=0,9
Вероятность того, что стрелок не попадет ни разу, т.е. совершит 5 промахов вычисляется по формуле
Тогда вероятность хотя бы одного попадания будет равна
ОТВЕТ: 0,40951
ЗАДАЧА 15. На фабрике керамической посуды
10% произведённых тарелок имеют дефект.
При контроле качества продукции выявляется 80%
дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают
в продажу. Найдите вероятность того, что случайно
выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Результат округлите до сотых.
Решение.
Пусть всего произведено X тарелок. Качественных тарелок 0,9 X , они поступают в продажу. Дефектных тарелок 0,1 X , из них в продажу поступает 0,2·0,1 X =0,02 X . Всего в продажу поступило 0,9 X +0,02 X =0,92 X тарелок. Вероятность купить тарелку без дефектов равна 0,9 X /0,92 X =45/46≈0,98.
ОТВЕТ: 0,98
ЗАДАЧА 16. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства
Решение.
1 способ.
ОТВЕТ: 0,75
2 способ.
Пусть X яиц произведено в первом хозяйстве,
а Y яиц – во втором.
Тогда 0,4X+0,2Y=0,35(X+Y) или 0,05X=0,15Y
Окончательно X=3Y=0,75(X+Y)
ОТВЕТ: 0,75
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
