Презентация по математике на тему: "Понятие логарифма"

Презентация по математике Понятие логарифма

Выполнила: студентка ГАУ КО ПОО КСТ группы ГД21-1

Семёнова Анастасия

Преподаватель: Пехова Н.Ю

Содержание:

• История появления логарифма
• Определение
• Виды логарифмов
• Свойства
• Формула перехода
• Вещественный и десятичный логарифмы
• Примеры использования неравномерности логарифмической зависимости
• Натуральный логарифм
• Логарифмическая функция и ее свойства
• Источники

• Логарифмы появились 350 лет назад в связи с потребностями вычислительной практики. В те времена для решения задач астрономии и мореплавания приходилось производить весьма громоздкие вычисления. Известный астроном Иоганн Кеплер первым ввел в1624 году знак логарифма – log . Он применил логарифмы для нахождения орбиты Марса.
• Логарифмы появились 350 лет назад в связи с потребностями вычислительной практики. В те времена для решения задач астрономии и мореплавания приходилось производить весьма громоздкие вычисления. Известный астроном Иоганн Кеплер первым ввел в1624 году знак логарифма – log . Он применил логарифмы для нахождения орбиты Марса.

Джон Не́пер (1550—1617) — шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.

• В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M , где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000. Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом ( ln ) следующим образом: LogNap(x) = M * (ln(M) – ln(x)) 

• Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса»есть нуль — этого и добивался Непер своим определением LogNap(0) = ∞ Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую .

Определение

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени , в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b

Пример log 2 8 = 3

0, a ≠ 1, b  0) lg b -  десятичный логарифм  (логарифм по основанию 10, a = 10). ln b -  натуральный логарифм  (логарифм по основанию e, a = e). " width="640"

• log a  b - логарифм числа b по основанию a (a  0, a ≠ 1, b  0)

• lg b -  десятичный логарифм  (логарифм по основанию 10, a = 10).

• ln b -  натуральный логарифм  (логарифм по основанию e, a = e).

Свойства

• a log a b = b – основное логарифмическое тождество
• Log a a = 1
• Log a 1 = 0
• Log a xy = log a x + log a y
• Log a x/y = log a x – log a y
• Log a x p = p log a x
• Log a k b = 1/k log a b
• Log a q b p = p/q log a b
• Log a k b k = log a b

Формула перехода

• Log a x = log b x/log b a
• Доказательство
• По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем
• Log b x = log b ( a log a x )
• Log b x = log a x log b a
• Разделив обе части полученного равенства на

log b a , приходим к нужной формуле

0,a не равное 1 ,b0 Наиболее распространённые : десятичные(основание - 10) Натуральные (основание е – число Эйлера) двоичные(основание – 2) " width="640"

Вещественный логарифм

• Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при a0,a не равное 1 ,b0
• Наиболее распространённые :

десятичные(основание - 10)

• Натуральные

(основание е – число Эйлера)

• двоичные(основание – 2)

Десятичный логарифм

• Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений.
• Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.

Примеры использования неравномерности логарифмической зависимости

• Акустика — интенсивность звука (децибелы).
• Отношение сигнал/шум в радиотехнике и электросвязи.
• Астрономия — шкала яркости звёзд.
• Химия — активность водородных ионов (pH).
• Сейсмология — шкала Рихтера.
• Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
• История — логарифмическая шкала времени.

Натуральный логарифм

• Логарифм по основанию e ( e трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом .
• Натуральный логарифм числа x обозначается ln x
• Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

0 , x 0 " width="640"

Логарифмической функцией называется функция вида f ( x ) = log a x , определённая при a0 , x 0

Источники

• http://cos-cos.ru/math/99/
• https://izamorfix.ru/matematika/algebra/logarifmy.html
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Логарифм