Теорема Виета.
Задачи урока:
Повторить теорему Виета и закрепить умение применять формулы для проверки правильности решения уравнений, а также для составления уравнения с заданными корнями;
Изучить новый способ решения приведенного квадратного уравнения с помощью формул Виета.
Проверка домашнего задания.
Доказательство теоремы.
Формулировка обратной теоремы теоремы.
1. х 2 – 9 = 0; p = 0; q = - 9.
(х – 3)(х+3) = 0; х 1 + х 2 = 3 + (-3) = 0 = - p
х 1 = 3; х 2 = - 3. х 1 · х 2 = 3 · (-3) = - 9 = q
2. 3х 2 + 15х = 0; а = 3; в = 15; с = 0.
3х (х + 5) = 0; х 1 + х 2 = - 5 = - = -
х 1 = 0; х 2 = - 5. х 1 · х 2 = 0 = =
3. х 2 – 4х - 11 = 0; х 1 = 2 + ; х 2 = 2 - .
4. 2 х 2 +5х – 3 = 0; х 1 = 0,5; х 2 = - 3 .
5. х 2 – 5х + 6 = 0; х 1 = 2; х 2 = 3.
- № 2. Решите системы уравнений подбором, если известно, что решениями являются целые числа:
1 ) а = 2; в = 3
2 ) а = 7; в = 8
3)
а = -2; в = 8
4 ) а = - 3; в = - 4.
5) а = -4; в = - 5
№ 9
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) х 1 = 4; х 2 = 2.
х 1 + х 2 = 6 = - p ⇒ р = - 6 ; х 1 · х 2 = 4 · 2 = 8 = q.
Ответ: х 2 – 6х + 8 = 0.
б) х 1 = 3; х 2 = - 5.
х 1 + х 2 = - 2 = -p ⇒ р = 2; х 1 · х 2 = 3 · (-5) = -15 = q.
Ответ: х 2 + 2х - 15 = 0.
в) х 1 = - 8; х 2 = 1.
х 1 + х 2 = - 7 = -p ⇒ р = 7 ; х 1 · х 2 = -8 = q.
Ответ: х 2 + 7х - 8 = 0.
г) х 1 = - 6 ; х 2 = - 2.
х 1 + х 2 = - 8 = -p ⇒ р = 8; х 1 · х 2 = 12 = q.
Ответ: х 2 + 8х + 12= 0.
- Задание 1. Выберите уравнение, сумма корней которого равна -6, а произведение равно -11:
- х² - 6х + 11 = 0
- х² + 6х - 11 = 0
- х² + 6х + 11 = 0
- х² - 11х - 6 = 0
- х² + 11х - 6 = 0
- Задание 2. Найти р и q, если х₁ = -5 и х₂ = -1 - корни уравнения х² + px +q = 0 .
1) p = -6, q = -5
2) p = 5, q = 6
3) p = 6, q = 5
4) p = -5, q = -6
5) p = 5, q = -6
6) p = -6, q = -5
Задание 3. Найдите сумму и произведение корней уравнения х² - 3х - 5 = 0.
- х₁ + х ₂= -3, х₁ ∙ х₂ = -5
- х₁ + х ₂= -5, х₁ ∙ х₂ = -3
- х₁ + х ₂= 3, х₁ ∙ х₂ = -5
- х₁ + х ₂= 5, х₁ ∙ х₂ = -3
Задание 4 . Ответьте на вопрос: корни каких уравнений одного знака, а каких – различны по знаку?
- х² - 3х -10 = 0, 2) х² +10х +21 = 0,
3)х² - 8х + 15 = 0. 4)х² + 3х - 54 = 0,
5) х² + 11х - 4 = 0, 6)3х² - 28х -9 = 0
Вывод:
С помощью теоремы Виета:
1. Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения.
2. Составляем квадратное уравнение с заданными корнями
3. Определяем знаки корней уравнения, не решая его.
4. …………………………………………?
Для каждого уравнения укажите, если это возможно сумму и произведение корней
По формулам Виета:
x₁ = -2
x₂ = 4
{
x₁ + x₂ = 2
x₁ ∙ x₂ = -8
2. х² + 7х + 12 = 0
x ₁ = -3
x ₂ = -4
{
x₁ + x₂ = -7
x₁ ∙ x₂ = 12
3. y² – 8y – 9 = 0
Для каждого уравнения решите полученную систему.
y₁ = -1
y₂ = 9
{
y₁ + y₂ = 8
y₁ ∙ y₂ = -9
4. х² - 6х + 2 = 0
x₁ = 3 -
x₂ = 3 +
x₁ + x₂ = 6
x₁ ∙ x₂ = 2
№ 6. Работа в парах.
а) х 1 = - 2; х 2 = - 1.
б)х 1 = 14; х 2 = 1.
в) х 1 = - 7; х 2 = - 1.
г)х 1 = 18; х 2 = 1.
Самостоятельная работа
- Составьте квадратные уравнения, если корнями являются числа:
а) х 1 = 5; х 2 = - 4. а) х 1 = - 4; х 2 = - 5.
б)х 1 = - 3; х 2 = - 5. б)х 1 = 9; х 2 = - 5.
В) х 1 = 3,5; х 2 = - 8. в)х 1 = 4; х 2 = - 5,4.
2. Решите уравнения подбором:
а)х² – х – 20 = 0 а) х² + 3х – 28 = 0
б)х² – 12х +20 = 0 б)х² – 7х + 12 = 0
Самопроверка.
1 . а) х² - х - 20 = 0; 1 . а)х² + 9х + 20 = 0
б)х² + 8х + 15 = 0; б) х² - 4х - 45 = 0;
в)х² + 4,5х - 28 = 0; в)х² + 1,4х – 21,6= 0;
2. а)5 и -4; 2. а)4 и -7
б)2 и 10. б)3 и 4.
0 ошибок – «5»,
1-2 ошибки – «4»
3 ошибки – «3»,
4 - … ошибки – «2».
Итог. С помощью теоремы Виета:
1. Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения.
2. Составляем квадратное уравнение с заданными корнями
3. Определяем знаки корней уравнения, не решая его.
4. Решаем уравнения подбором в случае, если корни являются целыми числами.
В чем преимущество нового способа решения квадратных уравнений?
Есть ли недостатки?
Сформулируйте теорему Виета для приведенных квадратных уравнений.
Домашнее задание : прочитать п. 29 ; повторить теорему; письменно №7; №8.
доп. задание: №31 или №41 ( ).