Презентация "Мир правильных многогранников"

Мир правильных

многогранников.

Выполнила

Рудник Ольга Анатольевна

Учитель математики

МОШ I-III ступеней №53

• Многогранник - это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Элементы многогранника

• Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют.
• Ребра многогранника - это стороны многоугольников.
• Вершины многогранника - это вершины многоугольника.
• Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани.

Многогранники

невыпуклый

выпуклый

Выпуклый многогранник

Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Невыпуклый многогранник

Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон, 6 класс (часть 3). № 742(а)

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК-

выпуклый многогранник,

грани которого являются правильными

многоугольниками с одним и тем же числом сторон

и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Икосаэдр

Октаэдр

Тетраэдр

Гексаэдр

Додекаэдр

• Существует 5 типов правильных многогранников

• Тетраэдр - это треугольная пирамида, гранями которой являются треугольники

Основные формулы для тетраэдра

Определение:

• а – ребро,
• V-объем,
• S-площадь боковой поверхности,
• R-радиус описанной сферы,
• r- радиус вписанной сферы,
• H- высота.

• Октаэдр - это многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится 4 грани.

Правильная форма алмаза – октаэдр

Основные формулы для октаэдра

Определение:

• а – ребро,
• V-объем,
• S-площадь боковой поверхности,
• R-радиус описанной сферы,
• r- радиус вписанной сферы,

• Гексаэдр (куб) - это многогранник, в каждой вершине которого сходится 3 квадрата.

Основные формулы для гексаэдра

Определение:

• а – ребро,
• V-объем,
• S-площадь боковой поверхности,
• R-радиус описанной сферы,
• r- радиус вписанной сферы,
• H- высота.

• Додекаэдр - это многогранник, в каждой вершине которого сходится 3 правильных многоугольника.

Основные формулы для додекаэдра

Определение:

• а – ребро,
• V-объем,
• S-площадь боковой поверхности,
• R-радиус описанной сферы,
• r- радиус вписанной сферы,

• Икосаэдр - это многогранник в каждой вершине которого сходится 5 правильных треугольников.

Названия многогранников

пришли из Древней Греции,

в них указывается число граней:

«эдра»  грань;

«тетра»  4;

«гекса»  6;

«окта»  8;

«икоса»  20;

«додека»  12.

Правильные многогранники в философской картине мира Платона

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь , поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.

Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду .

Куб – самая устойчивая из фигур – землю .

Октаэдр – воздух .

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

тетраэдр

огонь

икосаэдр

вода

октаэдр

воздух

гексаэдр

земля

додекаэдр

вселенная

« Космический кубок» Кеплера

Кеплер предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы.

Модель Солнечной

системы И. Кеплера

Икосаэдро-додекаэдровая

структура Земли

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете.

Икосаэдро-

додекаэдровая

структура Земли

Таблица № 1

Правильный многогранник

Число

граней

Тетраэдр

4

вершин

Куб

6

рёбер

Октаэдр

4

8

6

Додекаэдр

8

12

12

6

Икосаэдр

12

20

20

30

12

30

Таблица № 2

Правильный многогранник

Число

граней и вершин

Тетраэдр

(Г + В)

4 + 4 = 8

Куб

рёбер

Октаэдр

6 + 8 = 14

6

(Р)

8 + 6 = 14

Додекаэдр

12

12

12 + 20 = 32

Икосаэдр

20 + 12 = 32

30

30

Формула Эйлера

Сумма числа граней и вершин любого многогранника

равна числу рёбер, увеличенному на 2.

Г + В = Р + 2

Число граней плюс число вершин минус число рёбер

в любом многограннике равно 2.

Г + В  Р = 2

• Французский математик Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.

• Два из них знал

И. Кеплер (1571 – 1630 гг.).

• В 1812 году французский математик О. Коши

доказал, что кроме пяти «платоновых тел» и

четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.

Малый звездчатый

додекаэдр

Большой звездчатый

додекаэдр

Большой икосаэдр

Большой додекаэдр

Строение молекулы

метана .

Вирус полиомиелита имеет

форму додекаэдра.

Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р 4  . Такая молекула имеет вид тетраэдра.

Фосфорноватистая

кислота

Н 3 РО 2.

Правильные многогранники и природа

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр

Феодария

(Circjgjnia icosahtdra)

Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных многогранников и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям.

« Тайная вечеря»

Сальвадор Дали

Заключение

Высшее назначение математики- находить порядок в хаосе, который нас окружает Норберт Винер