Презентация на тему: "Основы логики"

Алгебра логики (булева алгебра) - это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Джордж Буль

Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Пример:

« Трава зеленая » -истинное высказывание.

« Лев – птица » - ложное высказывание.

Не всякое предложение является логическим высказыванием. Пример: «ученик десятого класса» «информатика — интересный предмет».

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если... , то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, н азываются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными .

Пример:

Элементарные высказывания:

« Петров — врач »,

« Петров — шахматист »

Составные высказывания:

• " Петров — врач и шахматист ", понимаемое как " Петров — врач, хорошо играющий в шахматы ".
• " Петров — врач или шахматист ", понимаемое в алгебре логики как " Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно ".

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, их обозначают буквами.

Пример:

А = «Луна – спутник Земли», А = 1

В = « 3* 2 = 5», В = 0

Пример:

А = "Тимур поедет летом на море",

В = "Тимур летом отправится в горы".

А и В = "Тимур летом побывает и на море,  и в горах»

Операции над логическими

высказываниями

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Логическое « отрицание » 

  ( инверсия или НЕ) обозначается чертой над высказыванием Ā .

Диаграмма Эйлера-Венна:

Пример:

А = « Луна — спутник Земли »

А = " Луна — не спутник Земли "

Таблица истинности

А

А

0

1

1

0

Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Логическое умножение    

( « и », конъюнкция (лат. conjunctio — соединение)) обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками /\ или & ).

А . В, А /\ В, А & В

Диаграмма Эйлера-Венна :

Пример:

А = «10 делится на 2», А= 1

В = «5 больше 3», В = 1

С = « 4 – нечётное число», С = 0

А & В = «10 делится на 2 и 5 больше 3», А & В = 1

А & С = « 10 делится на 2 и 4 – чётное число», А & С = 0

Таблица истинности

X

Y

0

1

X&Y

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

Высказывание А · В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Логическое сложение    

( « или » , дизъюнкция (лат. disjunctio — разделение) обозначается знаком v или + .

А V В, А + В

Диаграмма Эйлера-Венна:

Таблица истинности

X

Y

0

X + Y

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Импликация (лат. implico — тесно связаны) 

-операция, выражаемая связками   «если ..., то…»,   «из ... следует…»,   «... влечет ...».

Обозначается знаком .

А В

.

Таблица истинности

А

В

0

А В

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

Высказывание   А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В – ложно.

Эквиваленция (двойная импликация)

- операция, выражаемая связками « тогда и только тогда », « необходимо и достаточно », «... равносильно ...» Обозначается знаком    или   ~.  

А В, А ~ В.

Таблица истинности

А

В

0

0

А В

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

• Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.      

Пример:

А = «10 делится на 2», А= 1

В = «5 больше 3», В = 1

С = « 4 – нечётное число», С = 0

К = « 3 – чётное число», К = 0

А + В = «10 делится на 2 или 5 больше 3», А + В = 1

А + С = « 10 делится на 2 или 4 – чётное число», А + С = 1

С + К = « 4 – нечётное число или 3 – чётное число», С+К = 0

Порядок выполнения логических операций

1 .Сначала выполняется операция отрицания (“не”),

2. Затем конъюнкция (“и”),

3. После конъюнкции — дизъюнкция (“или”),

4. В последнюю очередь — импликация и эквиваленция.

¬B " width="640"

Законы логики.

• A → B = ¬ A  B
• Законы де Моргана ¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B

3. Законы коммутативности А &B  B&A

AVB  BVA

4. Законы ассоциативности ( А &B)&C  A&(B&C)

( А VB)VC  AV(BVC)

5. Законы дистрибутивности А & ( BVC)  (A&B)V(A&C)

А V ( B&C)  (AVB)&(AVC)

6. Законы поглощения A&(AVB)  A

AV(A&B)  A

7. Законы противоречия A&¬A=0

8. Закон исключения третьего AV¬A=1

9. Закон двойного отрицания ¬¬A=A

10. Закон контрапозиции A-›B  ¬A - ¬B

Список использованных источников информации.

• http://electrik.info/main/fakty/229-buleva-algebra-chast-1-nemnogo-istorii.html
• http :// booleanalgebra . narod . ru /
• http://www.mirea.ac.ru/d1/metodika/Indexmet.htm
• http://alglib.sources.ru/articles/logic.php
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D00
• http://www.sch861.ru/2-school/3-11-ikt/ikt/urok/logica/2.html ·
• http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm
• О.Б. Богомолова Логические задачи. — М. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005
• В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина Логика в информатике. — М. “Информатика и образование”. 1999 г.
• С.С. Коробков Элементы математической логики и теории вероятности. — Екатеринбург, 1999
• М.И. Башмаков Уроки математики. Выпуск 4. Учимся логике. — Санкт-Петербург “Информатизация образования”, 2000 г.
• А.П. Бойко Практикум по логике. — М. “Издательский центр АЗ”, 1997 г.
• А.С. Жилин Логические задачи.