Презентация по теме "Площадь треугольника"

Площадь треугольника

Полезные теоремы , следствия и задачи.

Вспомним ответы на вопросы

• Сформулируй понятие площади геометрической фигуры
• Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур
• Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма?

Площадь геометрической фигуры

• Площадью геометрической фигуры называется величина , характеризующая размер данной фигуры

Основные свойства площадей геометрических фигур

• Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь .
• Эта площадь – единственная .
• Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом .
• Площадь квадрата со стороной , равной единице , равна единице .
• Площадь фигуры равна сумме площадей частей , на которые она разбивается .

Площадь прямоугольника

• Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон

а

в

S = а · в

Площадь параллелограмма

• Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту , опущенную на эту сторону

h

S = а · h

а

Площадь параллелограмма

• Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними

С

В

а

А

Д

в

S = а · в · sin А

Площадь треугольника

• Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту , опущенную на эту сторону

В

S= ½ AC · ВД

А

С

Д

Доказательство теоремы

Д

В

С

А

К

S( АВС)= ½ S( АВДС)=1 / 2 АД · ВК

Следствия из теоремы

• Попробуй доказать самостоятельно следующие следствия из теоремы:

Следствие 1

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В

А

С

S= ½ ВС · АС

Следствие 2

• Площадь тупоугольного треугольника равна произведению любой из его сторон на высоту , опущенную на эту сторону

В

А

С

Д

Следствие 3

• Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними

В

А

С

S= ½ АВ · АС · sin А

Следствие 4

• Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

где а – сторона треугольника

Сначала реши легкие задачки

1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, опущенная на это основание, равна 20 см.

2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.

3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 см и 12 см.

Поясняющие чертежи к этим легким задачкам

9

6

20

12

16

2

3

1

Теперь реши задачки потруднее

1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника.

2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника

Теперь реши самые трудные задачи

• 1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен  . Найдите площадь треугольника.
• 2. Высота равностороннего треугольника равна h. Вычислите его площадь.
• 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен  . Найдите площадь треугольника.

Ответы к легким задачкам

1. 160 см 2

2. 9 см 2

3. 54 см 2

Ответы к более трудным задачкам

1 . 60 см 2

2 .

3. 24 см 2

Ответы к самым трудным задачкам

Ответы к задачам:

1 . ½ a 2 sin2 

2 .

3 .

Это интересно!

Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач . Правильный подход к их решению был найден не сразу . Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием , называемый методом разбиения .

Например , мы уже знаем , как можно вычислить площадь квадрата , прямоугольника и параллелограмма , а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника . Применим следующий алгоритм:

• Отметим на одной из сторон треугольника точку , которая является серединой этой стороны .
• Проведем через эту точку прямую , параллельную одной из сторон этого треугольника .
• Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию .
• Переставим меньший треугольник к трапеции так , чтобы получился параллелограмм .

Поясняющий чертеж

Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами , а значит и равновеликими . Мы знаем , что равновеликие фигуры - это фигуры , имеющие равные площади . Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма .

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту , а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма . Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!

И в заключение…

• Надеюсь , что эта информация поможет тебе хорошо разобраться в этой теме , а значит получить на контрольной работе только «5»!
• Благодарю за внимание !