Признаки делимости натуральных чисел

Признаки делимости натуральных чисел

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра.

В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Пример 1. Делится ли число 2814 на 7?

Найдём остатки при делении разрядных единиц: 10, 100, 1000 на 7.
6 – остаток от деления 1000 на 7,
2 - остаток от деления 100 на 7,
3 - остаток от деления 10 на 7.
2814 делится на 7, т. к. 2·6 + 8·2 +1·3 +4 = 35,   35:7=5 [1].

В теории чисел существуют признаки делимости суммы и разности чисел [2].

Свойство 1.
Если каждое из чисел a и b делится нацело на число k, то и сумма a+b также делится нацело на число k.

Доказательство:
Так как a делится нацело на число k, то a=k*m1. Так как b делится нацело на число k, то b = k*m2. Подставим эти выражение в сумму a+b:
a + b = k*m1+ k*m2=k*(m1+m2). Это означает, что a+b делится нацело на k.

Свойство 2.
Если одно слагаемое делится на некоторое число и сумма делится на это же число, то другое слагаемое тоже делится на это число, т.е., если a делится на b и (a+c) делится на b, то c делится на b.

Доказательство:
Так как a нацело делится на b, то a=b*m1 и так как a+c нацело делится на b, то a+c=b*m2.
Тогда b*m1 + c = b*m1 + c, c=b*m2 - b*m1=b*(m2-m1). Таким образом, c делится на b.

В рубрике учебника «Когда сделаны уроки» я узнала, что существует много различных признаков делимости. Признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 3, на 9 мы изучали на уроках, но я решила рассмотреть некоторые признаки дополнительно, такие как, на 11 и на 7 (см. Рис. 1).

Рис. 1 Круг изученных признаков делимости

Чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечётных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на чётных местах, делилась на 11 [2].