Проектная работа 9 класс "Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля"

Федеральное государственное казённое общеобразовательное учреждение

«Омский кадетский военный корпус

Министерства обороны Российской Федерации»

Проектная (исследовательская) работа

Решение уравнений и неравенств,
содержащих переменную
под знаком модуля

Автор: Чугунов Максим, обучающийся 9-2 класса

Руководитель:

преподаватель математики

Железная Н.О.

г. Омск

2019 год

Введение 3

1. Модуль: определения, свойства. 4

1. 1. История понятия «модуль» 5

1. 2. Основные равносильные преобразования 5

2. Методы решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля 6

2.1. Уравнения с модулем 7

2.2. Неравенства с модулем 13

Заключение 21

ПРИЛОЖЕНИЕ 24

Кто с детских лет занимается математикой,

тот развивает внимание, тренирует свой мозг,

свою волю, воспитывает настойчивость

и упорство в достижении цели.

А. Маркушевич

Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, — прекрасный способ с пользой провести свободное время, тренируя при этом свою логику и математическую интуицию. К сожалению, данный вид математических задач входит в школьную программу в очень «урезанном» формате – в 8 классе на изучение темы «Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль» отводится по программе всего 3 урока. Для проекта я выбрал тему «Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля» потому, что посчитал ее очень интересной и актуальной для себя. При подготовке ко второй части ОГЭ по математике мне неоднократно встречались задания с модулями. Заданий в учебнике по данной теме немного, поэтому я планировал также дополнить дидактическую копилку учителя материалом результатами своего проекта и создать интерактивную игру для ребят своей роты, чтобы провести ее на неделе ОД «Математика, информатика и ИКТ».

Нами были определены

Объектная область исследования - учебный предмет «математика».

Объект исследования – решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Предмет исследования – математические задачи определенного типа.

Цель проекта:

- Повторение, обобщение и систематизация имеющихся знаний по теме «Модуль числа»;

- Расширение и углубление знаний по теме «Решение уравнений и неравенств», выработка навыка решения различных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

- Формирование устойчивого интереса к математике, умения и навыков исследовательской, проектной деятельности; развитие навыков самостоятельного поиска информации, формирование умения отбирать и структурировать материал.

Задачи:

• Изучить литературу по теме проекта;

• Систематизировать все собранные материалы;

• Подготовить подборку задач по теме проекта и представить полученные результаты в виде интерактивной интеллектуально-познавательной игры;

• Подготовить мультимедийную презентацию для представления результатов работы над проектом.

Тип проекта:

• по виду деятельности – практико-ориентированный;

• по организационной форме – индивидуальный;

• по времени выполнения - долговременный.

Этапы работы над проектом

Разработанный нами проект включает два этапа:

1-й этап аналитический

2-й этап обобщения

Основные виды работы над проектом:

• Изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии, задачники по математике, Интернет-ресурсы).

• Анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме, решение задач).

1. Модуль: определение, свойства.

Определение (алгебраическое). Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется число

Кроме того, иногда удобно так называемое геометрическое определение модуля:

Модулем числа называется расстояние от точки, соответствующей этому числу на числовой прямой, до начала координат.

Свойства модуля:

Для любых действительных чисел a, b справедливы соотношения:

Историческая справка

Абсолютная величина (модуль) ( , abs(x)). Термин происходит от латинского modulus (мера). Функция встречается впервые у Готфрида Лейбница в форме mol a, moles a (возможно, от лат. moles - сила). Знак , и название absolute Betrag для абсолютного значения придумал Карл Вейерштрасс в 1841 г., а с 1856 г. он употреблял эти термины и обозначения в лекциях, которые читал в Берлинском университете; в печати эти работы (вместе с обозначениями) появились в его «Werke» (Bd. I, 1894). Распространялось обозначение медленно; так, спустя четверть века Риман еще не употребляет знак модуля и говорит описательно: «независимо от знака…». В 1880 г. Липшиц использует обозначение . В курсе Дини (1892) обозначение употребляется с объяснением, как непривычное. Еще более разительный пример: Карл Нейман в работе 1914 года предпочитал обозначение , abs.(K), которое сейчас обычно используется в языках программирования. Огюстен Коши и Жан Роберт Арган в начале XIX века расширили понятие «модуль» на область комплексных чисел, а символика перенесена Хондриком Лоренцом в 1903 г. для обозначения длины вектора.

Рассмотрим основные равносильные преобразования, используемые для решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

4) Уравнения, представляющие собой алгебраическую сумму двух и более модулей, решаются методом разбиения на промежутки (методом интервалов). На практике это делается так:

• находят значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль;

• разбивают область допустимых значений х на промежутки, на каждом из которых выражения под знаком модуля сохраняют знак;

• раскрывают все модули на каждом из найденных промежутков и решают полученные уравнения.

• Объединение найденных решений составляет множество решений заданного уравнения.

8) Неравенства, содержащие алгебраическую сумму двух и более модулей, решаются методом разбиения на промежутки по той же схеме, что и аналогичные уравнения.

1. Методы решения уравнений и неравенств,
   содержащих переменную под знаком модуля

Материал проекта представлен в виде практических тестов, которые позволят систематизировать и качественно улучшить уровень решения задач, содержащих неизвестную под знаком модуля. В тестах содержится достаточно большое количество заданий и упражнений, взятых из различных источников, при этом предпочтение отдавалось комбинированным упражнениям, при решении которых используются сведения из различных разделов элементарной математики. Все задания направлены на развитие интереса к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

1. Уравнения с модулем

Для решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, обычно применяется один из методов:

1. раскрытие модуля по определению;

2. возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3. метод разбиения на промежутки.

Первый из способов обычно применяется, когда в уравнении встречается лишь одно выражение под знаком модуля; второй – когда обе части уравнения, возводимые в квадрат, неотрицательны; третий – когда в уравнении встречается несколько выражений, стоящих под знаком модуля.

Пример. 1а). Решите уравнение .

Решение: Первый способ: Воспользуемся определением модуля и получим совокупность двух систем:

Из первой системы совокупности находим , из второй – .

Второй способ: Так как обе части данного уравнения неотрицательны, то можно получить равносильное уравнение: . Используя формулу , получаем квадратное уравнение , корни которого и .

Ответ: .

Пример 1б). Сумма корней уравнения равна

А) 4 B) 5 C) –4 D) 3 E) 2

Решение.

. Уравнение имеет два корня и . Уравнение корней не имеет. Следовательно, сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: А.

Пример 2. Сумма корней уравнения равна
А) 4 B) –5 C) –4 D) 3 E) 5

Решение. . Уравнение имеет два корня и . Уравнение корней не имеет. Следовательно, сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: С.

Пример 3а) Решите уравнение .

Решение. Воспользуемся для решения вторым способом. Ясно, что если , то уравнение корней не имеет, так как модуль не может быть равен отрицательному числу. В случае обе части уравнения неотрицательны и их можно возвести в квадрат, освободившись таким образом от знака модуля. При этом получается следующая система:

или

Последняя система корней не имеет, следовательно, и исходное уравнение тоже.

Ответ: .

Пример 3б). Произведение корней уравнения равно

А) B) C) D) E) –6

Решение.

Данное уравнение равносильно системе . Второе уравнение корней не имеет. Решая первое уравнение , находим , . Оба корня удовлетворяют неравенству , а значит, являются решениями исходного уравнения. Следовательно, произведение корней равно .

Ответ: В.

Пример 3в). Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения .

Решение. Данное уравнение равносильно системе . Решая ее, получим . не удовлетворяет условию , значит, не является корнем. Решением данного уравнения является 4.

Ответ: 4.

При решении уравнений третьим способом находятся те значения переменной, в которых хотя бы одно из выражений, стоящих под знаком модуля, обращается в 0. Этими точками вся числовая прямая разбивается на промежутки (отсюда и название метода). Далее на каждом из полученных промежутков решается исходное уравнение, при этом каждый модуль раскрывается по определению. Для этого удобно заранее оценить знаки каждого из выражений, стоящих под модулем, и полученные результаты свести в таблицу. Полученные ответы проверяются на принадлежность промежутку, на котором велось решение. Множеством решений исходного уравнения является объединение корней, полученных на каждом из промежутков.

Пример 4а) Решите уравнение .

Решение: Применим метод разбиения на промежутки. при ; при . Таким образом, вся числовая прямая разбилась на промежутки , и (граничную точку принято брать в один из промежутков). Возможные случаи раскрытия модулей на промежутках запишем в виде таблицы.

(“+” – выражение на указанном промежутке положительно,
“-“ – отрицательно).

Рассмотрим каждый промежуток:

1) . , или . Получилось верное равенство, следовательно, корнями являются все точки промежутка, на котором велось решение.

2) . , или . Эта точка выбранному промежутку не принадлежит. Однако стоит заметить, что если так называемая “граничная точка” является решением уравнения, то это решение обязательно получится дважды: при рассмотрении левого и правого (от данной точки) промежутков.

3) . , или . Равенство неверное, следовательно, корней на данном промежутке нет.

Объединяя результаты пунктов 1, 2 и 3, получаем ответ.

Ответ: .

Пример 4б). Сумма корней уравнения равна
А) B) C) D) 4 E) –2

Решение. Выражения под знаками модуля обращаются в ноль в точках и . Они разбивают числовую ось на три интервала. Решаем данное уравнение на каждом интервале:

Итак, сумма корней данного уравнения , и выбираем ответ С.

Ответ: С.

Тест «Уравнения с модулем»

1. Сумма корней уравнения равна

А) – 4 B) 4 C) –3 D) 3 E) 2

1. Сумма корней уравнения равна

А) 4 B) –5 C) –4 D) 5 E) 3

1. Сумма корней уравнения равна

А) 0 B) 15 C) 5 D) –5 E) –15

1. Найдите сумму решений уравнения

А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения

А) 1 B) –2 C) 3 D) –6 E) 8

1. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения принадлежит промежутку

А) B) C) D) E)

1. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна

А) B) C) D) E) 1

1. Решения уравнения принадлежат промежутку

А) B) C) D) E)

1. Найдите произведение корней уравнения

А) –480 B) –32 C) –24 D) –20 E) 480

1. Найдите произведение корней уравнения

2. Найдите сумму корней уравнения

3. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения

4. Найдите сумму корней уравнения

5. Найдите наименьший корень уравнения

6. Найдите все значения параметра а, при которых графики функций и имеют одну общую точку

А) B) C) D) E)

1. Укажите все значения параметра , при которых графики функций и имеют только две общие точки

А) B) C) D) E)

1. При каком значении параметра а уравнение имеет три различных корня?

А) 4 B) 5 C) 8 D) 6 E) 9

Ответы теста «Уравнения с модулем»

Комментарии к некоторым задачам.

15. Предложим аналитическое решение этой задачи. Преобразуем первую функцию . , Графики должны иметь только одну общую точку: или ; или .

1 6. Решим задачу графически. Рассмотрим график функции . Это парабола с вершиной в точке , следовательно, график функции имеет вид, изображенный на чертеже (при ). Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс. Из чертежа видно, что линии будут пересекаться в двух точках при выполнении условия . При точек пересечения нет.

1. Неравенства с модулем

Рассмотрим теперь неравенства, в которых переменная стоит под знаком модуля. Начнем с простейших неравенств. Решим неравенство , где . Из геометрического определения модуля следует, что решением данного неравенства является интервал или решение системы Расширим эти выводы на более сложное неравенство. Неравенство вида , где и – некоторые функции, равносильно системе:

Для тех , при которых , эта система, а значит, и данное неравенство решений не имеют.

Пример 1а). Решите неравенство .

Решение: Данное неравенство равносильно системе:

Неравенство выполняется при любом х. Неравенство выполняется при и . Таким образом, множество решений исходного неравенства состоит из объединения двух промежутков: .

Ответ: .

Пример 1б). Число целых решений неравенства равно

А) 4 B) 5 C) 3 D) 1 E) 2

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству . Двойное неравенство равносильно системе неравенств , которая имеет решения при . Следовательно, число целых решений равно 4.

Ответ: А.

Пример 1в). Наибольшее целое решение неравенства равно

А) 4 B) 0 C) 3 D) 1 E) 2

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству . Двойное неравенство равносильно системе неравенств . Следовательно, , и наибольшее целое решение равно 2.

Ответ: Е.

Теперь рассмотрим решение неравенства , где .
Из геометрического определения модуля следует, что решением данного неравенства является объединение интервалов или решение совокупности Аналогично, неравенство вида , где и – некоторые функции, равносильно совокупности двух неравенств:

Пример 2а) Решите неравенство .

Решение: Данное неравенство можно переписать в виде: , и, следовательно, оно равносильно совокупности неравенств:

Поскольку при или , а при или , то множество решений совокупности, а следовательно, и исходного неравенства состоит из объединения двух промежутков: .

–5 –1 2 4 х

Ответ: .

Пример 2б). Сумма всех целых решений неравенства равна

А) 14 B) 10 C) 8 D) 15 E) 9

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств Множество решений – пустое множество. Множество решений представляет интервал . Следовательно, сумма целых решений равна 9, и выбираем ответ Е.

Ответ: Е.

Пример 3а). Решите неравенство .

Решение: данное неравенство равносильно или . Решением полученного квадратного неравенства являются интервалы: .

Ответ: .

Пример 3б). Число целых решений неравенства равно

А) 4 B) 0 C) 3 D) 1 E) 2

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству , решениями которого являются . Следовательно, число целых решений равно 1.

Ответ: D.

Неравенства, в которых под знаком модуля стоит несколько выражений, удобно решать аналогично методу разбиения на промежутки. Так же, как при решении подобных уравнений, находятся все точки смены знака каждого выражения, стоящего под знаком модуля, на каждом из полученных промежутков с учетом знаков указанных выражений модули раскрываются и решается полученное неравенство. Множество решений этого неравенства пересекается с рассматриваемым промежутком. Объединяя найденные множества, получаем множество всех решений исходного неравенства.

Пример 4а). Решите неравенство .

Решение: Так как при , а при , то вся числовая прямая разбилась на промежутки , и . Возможные случаи раскрытия модулей на промежутках запишем в виде

Решаем неравенство на каждом из промежутков.

1. . , или . Неравенство неверное, следовательно, решений на данном промежутке нет.

2. . , или . Пересекая полученное решение с промежутком (–2;3], получаем: .

3. . , или . Неравенство верное, следовательно, в ответ идет весь промежуток .

Для получения окончательного ответа объединим решения, полученные на каждом из промежутков: .

Ответ: .

Пример 4б). Наименьшее целое решение неравенства равно
А) –1 B) 0 C) 3 D) 1 E) 2

Решение. Выражения под знаками модуля обращаются в ноль в точках и . Они разбивают числовую ось на три интервала. Решаем данное неравенство на каждом интервале:

Объединяя полученные множества решений, находим решение исходного неравенства: . Следовательно, наименьшее целое решение равно 0, и выбираем ответ В.

Ответ: В.

Неравенства с вложенными модулями решаются подходящим методом, начиная с внешнего модуля.

Пример. 5а) Решите неравенство.

Решение: Данное неравенство равносильно следующей совокупности:

Ответ: .

Пример 5б). Сумма всех целых решений неравенства равна

А) –4 B) –3 C) 2 D) –2 E) 1

Решение. Данное неравенство равносильно двойному неравенству . Следовательно, решением данного неравенства является множество , и сумма целых решений равна –2, что соответствует ответу D.

Ответ: D.

Тест «Неравенства с модулем»

1. Найдите количество целочисленных решений неравенства

А) 5 B) 6 C) 10 D) 11 E) бесконечно много

1. Найдите сумму целых отрицательных решений неравенства

А) –17 B) –15 C) –20 D) –18 E) –21

1. Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства ?

А) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) бесконечно много

1. Сумма целых решений неравенства равна

А) 10 B) 8 C) 9 D) 15 E) 14

1. Решение неравенства имеет вид

А) B) C) D) E)

1. Все решения неравенства заполняют на числовой оси промежуток, длина которого равна

А) 1 B) 2 C) 0,5 D) 0,75 E)

1. Найдите количество целых решений системы неравенств

А) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) бесконечно много

1. Число целых решений неравенства равно

А) 2 B) 3 C) 5 D) 0 E) 1

1. Количество целых решений неравенства на промежутке равно

А) 6 B) 7 C) 3 D) 4 E) 5

1. Количество целых решений неравенства на промежутке равно

А) 6 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1. Найдите сумму целых решений неравенства

2. Решите неравенство

А) B) C) D) E)

1. Решите систему неравенств

А) B) C) D) E)

1. Найдите сумму целых решений системы неравенств

2. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 1,25.

3. Найдите наибольшее целое неположительное значение параметра а, при котором система неравенств не имеет решений.

4. Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором система неравенств не имеет решений.

Ответы «Неравенства с модулем»

Комментарии к некоторым задачам.

9. Данное неравенство равносильно системе .

14. Решим первое неравенство системы: . Решение второго неравенства системы являются полуинтервалы . Т.к. первое неравенство строгое, а второе – нестрогое, система не имеет решений, если точки и совпадают.

15. Решением первого неравенства является , решение второго . Система не имеет решения, если точки а и –4 совпадают.

Заключение

Математика – вечно живое дерево науки. С древнейших времен известно, что математика учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать. Кто занимается математикой, тот развивает свой ум и внимание, воспитывает волю и настойчивость. А эти качества нужны всем без исключения: и врачу, и инженеру, и писателю, и военному.

В результате работы над проектом я расширил свои знания об уравнениях и неравенствах, содержащих переменную под знаком модуля, определил для себя основные равносильные преобразования, помогающие решить задания с модулями, убедился в многообразии способов решения задач с модулями. Выполняя проект, я прорешал разными способами большое количество уравнений и неравенств с модулями, которые взял из различных сборников для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. Я думаю, что моя работа будет использована учителем математики с целью расширения знаний учащихся по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем», для подготовки кадет к ОГЭ и различным олимпиадам по математике. Также мною составлена интерактивная игра «Модуль», которая поможет ребятам моей роты улучшить свои знания по данной теме.

Таким образом, в результате выполнения проекта поставленная цель достигнута, задачи выполнены. Я доволен своей работой, так как лично для себя я узнал много нового и интересного по теме проекта и могу поделиться этой информацией со своими товарищами.

.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 3000 конкурсных задач по математике. – 5-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003 (с. 27-28, с. 111-112, 123-124)

2. Алгебраические уравнения и неравенства: учебное пособие/ Азаров А.И., Гладун О.М., Кремень Ю.А., Федосеенко В.С./ – Мн.: ООО «Тривиум», 1997. ( Ч. 2, с. 5-43)

3. Гущин Д. Д. Сборник заданий по алгебре. Для подготовки к ЕГЭ и конкурсным экзаменам. – 10-е изд., перераб. и доп. – Париж, СПб: Стетоскоп, ВВМ, 2007. (с. 24-26)

4. Иванов К.П. Сборник задач по элементарной математике для абитуриентов: учеб.пособие. – 4-е изд., испр. и доп. – Спб: Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2004. (с. 51-55).

5. Зеленский А. С. Сборник конкурсных задач по математике 1992-1995 годов. – 2-е изд. – М.: Научно-технический центр «Университетский»: АСТ-ПРЕСС, 1996. (с. 30-35)

6. Задачник-практикум по математике. Алгебра. Тригонометрия: Для поступающих в вузы/ Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ОО «Издательство «Мир и образование», 2005. ( с. 81-85, 212-218)

7. Титаренко А. М. Форсированный курс подготовки к экзамену по математике. Практикум: 5770 задач: учебное пособие. – М.: Изд-во Эксмо, 2005. (с. 86-87, 105-106)

8. Белоненко Т.В., Васильева Н.И. Сборник конкурсных задач по математике. Пособие для учащихся средних школ и абитуриентов. – СПб: «СМИО Пресс», 2006.

9. Куланин Е. Д., Федин С. Н. 5000 конкурсных задач по математике. – М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

10. Система тренировочных задач упражнений по математике / Симонов А. Я., Бакаев Д. С., Эпельман А. Г. и др. – М.: Просвещение, 1991.

11. Колесникова С. И. Уравнения и неравенства, содержащие модули. ЕГЭ. Математика. 4-е издание, стереотип. – М.: ООО «Азбука-2000», 2016.

12. Колесникова С. И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. (с. 59-74)

13. Зеленский А. С., Панфилов И. И. Решение уравнений и неравенств с модулем. – М.: Научно-технический центр «Университетский»: УНИВЕР-ПРЕСС, 2009.

14. Калугина Е. Е. Уравнения, содержащие знак модуля. – М.: ИЛЕКСА, 2012.

15. Шахмейстер А.Х. Уравнения. — 4-е издание — М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2011 (с. 74-92)

16. Шахмейстер А.Х. Дробно-рациональные неравенства. — 3-е издание, исправленное и дополненное — М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2008 (с. 61-91)

17. Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ Мерзляк А. Г., Поляков В. М. – М.: Вентана-Граф, 2016.

18. Александрова О.В., Семенов Ю.С. Решение алгебраических и иррациональных уравнений и неравенств. – М.: ИЛЕКСА, 2013. (с. 59-76).

19. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий и обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. — М.: Издательство ЛКИ, 2008.

Приложение.

Данный «Практикум» можно использовать как задачник по теме «Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля» и как сборник дидактических материалов. Подборка заданий полностью подходит для самостоятельного овладения указанной темой и рассчитана на последовательное обучение от начального уровня до уровня, необходимого абитуриенту или олимпиаднику. Содержание практикума соответствует идеям дифференциации, углубления и расширения знаний учащихся. Внутри каждого блока сложность заданий постепенно нарастает по принципу «от простого – к сложному», решая которые кадеты могут определять свой математический уровень и постепенно повышать его. Работа со 2 и 3 блоками практикума строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный. Также представлены задания, требующие не только свободного владения приобретёнными знаниями и умениями, но и творческого подхода, проявления интеллектуальной подвижности.

Практикум по теме «Решение уравнений с модулем»

I блок (сложность – уровень А):

II блок (сложность – уровень В):

III блок (сложность – уровень С):

Практикум по теме «Решение неравенств с модулем»

I блок (сложность – уровень А):

II блок (сложность – уровень В):

III блок (сложность – уровень С):

32