Районные олимпиады для учащихся 5-9 классов 2017 года

5 класс

1. Сумма пяти чисел равна 2000. Может ли их произведение заканчиваться на 2013?

Решение.

Допустим, что есть числа, произведение которых заканчивается на 2013, значит, все они нечетные. Но сумма пяти нечетных чисел не может быть числом четным, а значит, не может быть равной 2000.

Ответ: не может.

2. B ряд лежат 1000 конфет. Сначала Вася съел девятую конфету слева, после чего съедал каждую седьмую конфету, двигаясь вправо. После этого Петя съел седьмую слева из оставшихся конфет, а затем съедал каждую девятую из них, также двигаясь вправо. Сколько конфет после этого осталось?

Решение.

Вася начал с девятой конфеты слева, значит, из 992 конфет он съедал по одной конфете из каждых семи (первую из каждой «семерки»). Так как 992 : 7 = 141 (остаток 5), то Вася съел 141 конфету и еще первую из оставшихся пяти, то есть 142. После этого осталось 858 конфет.

Петя начал с седьмой конфеты слева, то есть из 852 конфет он съедал по одной конфете из каждых девяти (первую из каждой «девятки»). Так как 852 : 9 = 94 (остаток 6), то Петя съел 94 конфеты и еще первую из оставшихся шести, то есть 95.

Таким образом, осталось 763 конфеты.

Ответ: 763.

3. Али-Бабе подарили 40 кувшинов. Известно, что среди них найдутся два, различных по форме, и два, различных по цвету. Доказать, что существуют два кувшина, различных и по форме, и по цвету.

Решение:

Рассмотрим два кувшина различных по форме. Если они разных цветов, то задача решена. Если же кувшины имеют один цвет, то возьмем третий кувшин, который отличается от них по цвету (такой кувшин по условию существует). Так как кувшин не может иметь 2 разные формы одновременно, то он имеет различную форму хотя бы с одним из первых двух. Таким образом, третий кувшин отличается и по форме, и по цвету хотя бы с одним из первых двух, что и требовалось доказать.

4. Квадрат 4×4 разделён на 16 клеток. Раскрасьте эти клетки в чёрный и белый цвета так, чтобы у каждой чёрной клетки было три белых соседа, а у каждой белой клетки был ровно один чёрный сосед (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).

Решение

Заметим, что белых клеток должно быть втрое больше чем чёрных, так что белых будет 12, а чёрных — 4. После этого легко нарисовать требуемую картинку.

5. На окружности расставлено 2012 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение

Выигрывает первый. Первым ходом он проводит хорду, по обе стороны от которой расположено по 1005 точек. После этого, на каждый ход второго он отвечает аналогичным ходом по другую сторону от этой хорды.

6 класс

1. Найдите все простые числа, сумма и разность которых также являются простыми числами.

Решение.

Из анализа условия, сделаем вывод, что оба числа не могут быть нечетными, поскольку в таком случае сумма и разность их будут четными, а простых четных чисел только одно 2. Значит, одно из искомых чисел равно 2. Причем, в разности это число будет вычитаемым. Второе число не равно 3. 3-2=1 – не является простым. Пусть х - второе искомое простое число, x3. Тогда х-2 и х+2 – простые числа. Любое простое число, большее 3 дает при делении на 3 остаток 1 или 2. Значит, х-2 делится на 3 или х+2 делится на 3, т.е. равняется 3. Отсюда, х-2=3, х=5.

Ответ: числа 5 и 2.

2. На уроке математики во втором классе учитель вызвал к доске Колю, Васю, Мишу, Степу и Гришу и по очереди задал каждому из них по примеру из стандартной таблицы умножения. Результат каждого последующего умножения оказался в полтора раза больше предыдущего. Какие числа умножал Степа?

Решение

Мальчики получили следующие результаты:

Поскольку максимальное число, которое можно получить в таблице умножения, это , значит, .

Кроме того, делится на 16, так как результат умножения – целое число (а – несократимая дробь).

Откуда получаем, что = 16 (при 16 имеем ).

Значит, Гриша получил результат 81, а Степа – 54. А число 54 возможно получить единственным образом как 6·9, поскольку в таблице умножения все множители не больше 9.

Ответ: Степа умножал числа 6 и 9.

3. Во дворе стояли в ряд три клетки с кроликами, окрашенные в три разных цвета: красный, желтый и зеленый. В зеленой клетке было вдвое больше кроликов, чем в желтой. Через некоторое время продали пять кроликов из левой клетки, после чего половину оставшихся в ней кроликов пересадили в красную клетку. Какого цвета левая клетка?

Решение:

Заметим, что левая клетка — не красная, поскольку из левой клетки пересадили кроликов в красную клетку (по условию). В зеленой клетке вдвое больше кроликов, чем в желтой. Следовательно, в зеленой клетке было четное количество кроликов. Поскольку после продажи 5 кроликов из левой клетки оказалось возможным пересадить ровно половину кроликов в красную клетку, значит, в левой клетке после продажи стало четное количество кроликов. Следовательно, до продажи в левой клетке было нечетное количество кроликов, а значит, левая клетка – не зеленая.

Откуда получаем, что левая клетка желтого цвета.

Ответ: левая клетка — желтая.

4. В тетради в клеточку нарисован квадрат 5х5. Разрежьте этот квадрат по линиям клеток на семь прямоугольников, среди которых нет равных (прямоугольники называются равными, если они совпадают при наложении). Какие размеры у полученных прямоугольников?

Решение.

Все прямоугольники не могут содержать разное количество клеток, потому что сумма 1+2+3+4+5+6+7=28  25. Значит, будут прямоугольники, состоящие из одинакового количества клеток. Прямоугольников из 1, 2 и 3 клеток будет по одному. Прямоугольников из 4 клеток может быть 2 – 1х4 и 2х2. Всего уже есть 5 прямоугольников и «занято» 14 клеток. Осталось еще 11 клеток - это прямоугольники из 5 и 6 клеток, причем прямоугольник из 6 клеток может быть только вида 2х3. Пример на рисунке

5. На доске размером 8x8 двое по очереди закрашивают клетки так, чтобы не появлялось закрашенных уголков из трех клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение

Выиграет второй игрок, если он будет ходить симметрично первому (относительно центра доски). В самом деле, играя таким образом, он всегда сможет сделать ход, и при его ходе не может появиться закрашенный уголок – иначе он появился бы на предыдущем ходу.

7 класс

1. Найдите все такие простые числа p и q, для которых выполняется равенство p² - 2q² = 1.

Решение

Перепишем уравнение в виде 2q² = (p - 1)(p + 1). Заметим, что p – непременно нечетное простое число. Отсюда q — четное. Поэтому q = 2. Значит p = 3.

Ответ: p=3, q=2.

2. Федя, Маша и Даша собирали в лесу грибы. Девочки собрали какое-то количество грибов, а Федя не нашел ни одного гриба. Ему стало интересно, сколько же грибов собрали девочки. На его вопрос Маша ответила: "Если я дам вам обоим по три гриба, затем Даша даст нам обоим по девять грибов, а потом ты дашь каждой из нас по одному грибу, то у нас всех будет поровну грибов". Сколько же грибов собрала каждая из девочек?

Решение

Нарисуем, как изменялось количество грибов у детей по описанию Маши:

Поскольку у Феди изначально не было ни одного гриба, то легко посчитать, что в конце у него было бы 0 + 3 + 9 - 2 = 10 грибов. Повторив все операции в обратном порядке с учетом того, что у каждого из детей стало по 10 грибов, получим:

Ответ: Маша собрала 6 грибов, Даша – 24 гриба.

3. В семье весёлых гномов папа, мама и ребёнок. Имена членов семьи: Саша, Женя и Валя. За обеденным столом два гнома сделали по два заявления. Валя: «Женя и Саша разного пола. Женя и Саша – мои родители». Саша: «Я – отец Вали. Я – дочь Жени». Восстановите имя и отчество гнома-ребенка, если известно, что каждый из гномов один раз сказал правду, а один пошутил.

Решение.

Если Женя и Саша – родители Вали, то они разного пола, и оба заявления Вали правдивы, что невозможно. Поэтому Женя и Саша разного пола, но кто-то из них не родитель. Значит, родитель – Валя. В таком случае Саша не может быть отцом Вали, и из двух Сашиных высказываний правдиво второе, а именно, что она – дочь Жени. Так как Саша и Женя разного пола, то Женя – отец Саши, тогда Валя – ее мама.

Ответ: Александра Евгеньевна.

4. Прямоугольник тремя прямыми, параллельными сторонам разбит на шесть прямоугольных частей. За один вопрос можно узнать площадь одной из частей. Как за четыре вопроса можно узнать площадь исходного прямоугольника?

Решение.

Три прямые разбили прямоугольник со сторонами a и b на 6 прямоугольников (см. рис.). Для удобства известные нам величины будем обозначать большими латинскими буквами, неизвестные малыми. За 4 вопроса узнаем площади, например 1, 2, 3 и 4 прямоугольников S₁, S₂, S₃ и S₄. Для того, чтобы узнать площадь всего прямоугольника, можно узнать площади s₅ и s₆ прямоугольников 5 и 6.

; .

Таким образом, площадь всего прямоугольника:

.

5. На окружности отмечено 40 точек. Каждые две из них соединили отрезком. Игорь покрасил точки в два цвета. Какое наибольшее количество отрезков с концами в точках разного цвета могло получиться?

Решение:

Посмотрим на крайние случаи. Если первого цвета 1 точка, а второго 39 то отрезков с разноцветными концами будет всего 139=39. Если точек каждого цвета поровну – по 20, то всего разноцветных отрезков будет 2020=400. Докажем, что это максимальное число. Введем обозначения. Точек одного цвета не более 20 – пусть их 20-x. Так как всего точек 40, точек другого цвета 20+x. Значит, всего отрезков с разноцветными концами будет (20-x)(20+x)=400-x²400. Значит, отрезков с разными концами не может быть более 400, а ровно 400 быть может.

Ответ: 400.

Памятка по проведению олимпиады по математике

1. В олимпиаде по математике участвуют учащиеся 5,6,7 классов

2. Условия олимпиады содержат по 5 задач для каждого класса.

3. Предлагается авторское решение и примерная шкала оценки из расчета 25 баллов по всем 5 задачам одного класса.

Примерная шкала оценки для 5 класса

Примерная шкала оценки для 6 класса

Примерная шкала оценки для 7 класса

4. Жюри олимпиады имеет право переоценки задач при условии сохранения общей суммы баллов, а также право выставления поощрительного балла за оригинальность решения.

5. Запрещено пользоваться калькулятором.

1