Разбор заданий школьного этапа ВсШО по математике для 5 класса

1. класс (решения)

Задача 5.1. Даша называет натуральное число особенным, если для его записи исполь- зуются четыре различные цифры. Например, число 3429 — особенное, а число 3430 — не особенное.

Чему равно наименьшее особенное число, большее 3429?

Ответ: 3450.

Решение. Заметим, что все числа вида 343⋆ и 344⋆ не являются особенными. А следую- щее за ними число 3450 — особенное.

Задача 5.2. Вначале сказочный остров был разделён на три графства: в первом графстве жили только эльфы, во втором — только гномы, в третьем — только кентавры.

• В течение первого года каждое графство, где жили не эльфы, было разделено на три графства.

• В течение второго года каждое графство, где жили не гномы, было разделено на четыре графства.

• В течение третьего года каждое графство, где жили не кентавры, было разделено на шесть графств.

Сколько графств было на сказочном острове после всех этих событий?

Ответ: 54.

Решение. Изначально было по 1 графству каждого вида.

После первого года стало 1 графство эльфов, 3 графства гномов, 3 графства кентавров. После второго года стало 4 графства эльфов, 3 графства гномов, 12 графств кентавров.

После третьего года стало 24 графства эльфов, 18 графств гномов, 12 графств кентавров. Суммарно 24 + 18 + 12 = 54 графств.

Задача 5.3. В пяти из девяти кружков на картинке записаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Замените цифрами 6, 7, 8, 9 оставшиеся кружки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 так, чтобы суммы четырёх чисел вдоль каждой из трёх сторон треугольника были одинаковыми.

Постройте соответствие.

• В кружке 𝐴

• В кружке 𝐵

• В кружке 𝐶

• В кружке 𝐷

• стоит число 6.

• стоит число 7.

• стоит число 8.

• стоит число 9.

Ответ: 𝐴 = 6, 𝐵 = 8, 𝐶 = 7, 𝐷 = 9.

Решение. Из условия следует, что 𝐴 + 𝐶 + 3 + 4 = 5 + 𝐷 + 2 + 4, откуда 𝐷 + 4 = 𝐴 + 𝐶. Заметим, что 13 ⩾ 𝐷+4 = 𝐴+𝐶 ⩾ 6 +7. Значит, такое возможно только лишь когда 𝐷 = 9, а 𝐴 и 𝐶 — это 6 и 7 в некотором порядке. Отсюда следует, что 𝐵 = 8.

Сумма чисел вдоль каждой из сторон равна 5 + 9 + 3 + 4 = 20. Поскольку 5 + 1 + 8 +𝐴 = 20, то 𝐴 = 6. Поскольку 6 + 𝐶 + 3 + 4 = 20, то 𝐶 = 7.

Задача 5.4. Крош, Бараш, Нюша и Ёжик построили на одной улице четыре дома: марме- ладный, шоколадный, карамельный и пряничный.

• Мармеладный домик не стоит с краю.

• Бараш и Ёжик — не соседи.

• Соседний слева домик от домика Бараша — карамельный.

• Шоколадный дом расположен левее мармеладного и карамельного.

• Соседи Кроша — Ёжик и Нюша. Кто в каком доме живёт?

Постройте соответствие.

• В мармеладном доме живёт

• В шоколадном доме живёт

• В карамельном доме живёт

• В пряничном доме живёт

• Крош.

• Бараш.

• Нюша.

• Ёжик.

Ответ: Крош живёт в мармеладном домике, Бараш — в пряничном, Нюша — в кара- мельном, Ёжик — в шоколадном.

Решение. Обозначим через К,Б,Н,Ё домики Кроша, Бараша, Нюши, Ёжика соответствен- но.

По условию соседи Кроша — Ёжик и Нюша. Предположим, их домики располагаются на улице слева направо так: Н,К,Ё. Поскольку Бараш и Ёжик — не соседи, то Б находится левее Н. Но левее Б должен быть карамельный домик, а он самый левый из всех, проти- воречие.

Следовательно, домики Кроши, Ёжика и Нюши располагаются на улице слева направо так: Ё,К,Н. Поскольку Бараш и Ёжик — не соседи, то Б находится правее Н, и порядок домиков слева направо такой: Ё,К,Н,Б. Значит, Нюша живёт в карамельном домке. По- скольку мармеладный домик не с краю, то в нём живёт Крош. Поскольку шоколадный левее мармеладного, то в нём живёт Ёжик. А в оставшемся пряничном домике живёт Бараш.

Задача 5.5. Большой прямоугольник состоит из трёх одинаковых квадратов и трёх оди- наковых маленьких прямоугольников. Периметр квадрата равен 24, а периметр малень- кого прямоугольника равен 16. Чему равен периметр большого прямоугольника?

Периметр фигуры — сумма длин всех её сторон.

Ответ: 52.

Решение. У квадрата все стороны равны, и его периметр равен 24, поэтому каждая его сторона равна 24 ∶ 4 = 6. У прямоугольника периметр равен 16, и две его наибольшие стороны равны по 6, поэтому две наименьшие стороны равны по (16 − 6 ⋅ 2) ∶ 2 = 2. Тогда весь большой прямоугольник имеет размеры 8 × 18, и его периметр равен 2 ⋅ (8 + 18) = 52.

Задача 5.6. Есть 4 абсолютно одинаковых кубика, у каждого из которых на одной грани отмечены 6 точек, на другой — 5, …, на оставшейся — 1. Из этих кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке.

Сколько точек на четырёх левых гранях?

𝐵

𝐷

• Количество точек на грани 𝐴 равно …

• Количество точек на грани 𝐵 равно …

• Количество точек на грани 𝐶 равно …

• Количество точек на грани 𝐷 равно …

Ответ: На грани 𝐴 находится 3 точки, на грани 𝐵 — 5, на грани 𝐶 — 6, на грани 𝐷 — 5.

Решение. Рассмотрим расположение граней на одном кубике. Будем обозначать грани числами в соответствии с количеством точек на них.

Из картинки ясно, что грань 1 граничит с гранями 2, 3, 4 и 5. Напротив неё, таким образом, находится грань 6.

Грань 2 граничит с 4 и 5 (а также с 1). Значит, соседи грани 1 расположены вокруг неё в порядке 2, 5, 3, 4, то есть грани 4 и 5 противоположны. Оставшиеся две грани, 2 и 3, также противоположны.

Теперь нетрудно понять, что на грани 𝐴 находится 3 точки, на грани 𝐵 — 5, на грани 𝐶 —

6, на грани 𝐷 — 5.

Задача 5.7. В волшебном магазине за 20 серебряных монет можно купить мантию-невидимку и получить 4 золотых монеты сдачи. За 15 серебряных монет можно купить мантию- невидимку и получить 1 золотую монету сдачи. Сколько серебряных монет получится

в качестве сдачи, если купить мантию-невидимку за 14 золотых монет?

Ответ: 10.

Решение. В первом случае, по сравнению со вторым, заплатив 5 лишних серебряных мо- нет, можно получить лишние 3 золотые монеты сдачи. Следовательно, 5 серебряных мо- нет равноценны 3 золотым.

Во втором случае, заплатив 15 серебряных монет (что равноценно 3⋅3 = 9 золотым), мож- но получить мантию и 1 золотую монету сдачи. Следовательно, мантия стоит 8 золотых монет.

В третьем случае, заплатив 14 золотых монет за мантию стоимостью 8 монет, получится

1. золотых монет сдачи, что равноценно 5 ⋅ 2 = 10 серебряным монетам.

Задача 5.8. Каждый из 33 богатырей либо всегда лжёт, либо всегда говорит правду. Из- вестно, что у каждого богатыря есть ровно одно любимое оружие: меч, копьё, топор или лук.

Однажды Дядька Черномор задал каждому богатырю четыре вопроса:

• Твоё любимое оружие меч?

• Твоё любимое оружие копьё?

• Твоё любимое оружие топор?

• Твоё любимое оружие лук?

На первый вопрос утвердительно ответили 13 богатырей, на второй вопрос — 15 богаты- рей, на третий — 20 богатырей, на четвёртый — 27 богатырей.

Сколько всего богатырей всегда говорят правду?

Ответ: 12.

Решение. Заметим, что каждый из правдоговорящих богатырей отвечает утвердительно только на один вопрос, а каждый из лгущих богатырей — ровно на три вопроса. Пусть правдоговорящих богатырей было 𝑥, а лгущих — (33 − 𝑥). Тогда всего утвердительных ответов было 13 + 15 + 20 + 27 = 𝑥 + 3 ⋅ (33 − 𝑥), откуда получаем 75 = 99 − 2𝑥 и 𝑥 = 12.

Заметим также, что правдоговорящих богатырей может быть ровно 12. Пусть 8 лгущих богатырей больше всего любят меч, ещё 6 лгущих богатырей — копьё, ещё 1 лгущий бо- гатырь — топор, ещё 6 лгущих богатырей — лук, ещё 12 правдивых богатырей — лук. Несложно убедиться, что все условия задачи в этом случае выполняются.