Разбор заданий школьного этапа ВсШО по математике для 4 класса

Задача 4.1. У Кощея есть три сундука.

• На первом написано: «Тут лежат золотые монеты».

• На втором написано: «Тут лежат серебряные монеты».

• На третьем написано: «Тут лежат золотые или серебряные монеты».

Один из сундуков он заполнил только золотыми монетами, другой — только серебряны- ми, оставшийся — только медными. Все надписи оказались неверными. Что где лежит?

Постройте соответствие.

• В первом сундуке лежат

• Во втором сундуке лежат

• В третьем сундуке лежат

• золотые монеты.

• серебряные монеты.

• медные монеты.

Ответ: В первом сундуке лежат серебряные монеты, во втором — золотые, в третьем — медные.

Решение. Поскольку на третьем сундуке неверная надпись, то в нём могут лежать только медные монеты. В первом сундуке лежат ни золотые, ни медные монеты, значит, там лежат серебряные монеты. Тогда во втором сундуке лежат золотые монеты.

Задача 4.2. Вика вписала в клетки таблицы 3 × 3 числа от 1 до 9 так, что сумма любых двух чисел в соседних по стороне клетках меньше 12. Хулиган Андрей стёр все чётные числа: 2, 4, 6 и 8.

Помогите Вике восстановить, где какое число стояло.

Постройте соответствие.

• В квадрате 𝐴

• В квадрате 𝐵

• В квадрате 𝐶

• В квадрате 𝐷

Ответ: 𝐴 = 8, 𝐵 = 6, 𝐶 = 4, 𝐷 = 2.

• стоит число 2.

• стоит число 4.

• стоит число 6.

• стоит число 8.

Решение. Поскольку сумма чисел 9 и 𝐷 меньше 12, то 𝐷 может быть равно только 2. По- скольку сумма чисел 7 и 𝐶 ≠ 2 меньше 12, то 𝐶 может быть равно только 4. Поскольку

сумма чисел 𝐶 = 4 и 𝐵 меньше 12, и 𝐵 равно 6 или 8, то 𝐵 может быть равно только 6. Тогда оставшееся число 𝐴 равно 8. Несложно видеть, что полученная расстановка чисел в таблице удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача 4.3. Все места за круглым столом короля Артура пронумерованы по часовой стрел- ке. Между соседними местами расстояния одинаковые.

Однажды король Артур сел на место с номером 10, а сэр Ланселот сел прямо напротив него на место с номером 29. Сколько всего мест за круглым столом?

Ответ: 38.

Решение. По одной из сторон стола между Артуром и Ланселотом находятся места с но- мерами 11, 12, … , 28 — всего ровно 18 мест. Поскольку эти двое сидят в точности напротив друг друга, то по другую сторону стола также находится 18 мест. Значит, всего мест за сто- лом 18 + 18 + 1 + 1 = 38.

Задача 4.4. На схеме нарисован веломаршрут по парку, а также длины некоторых его участков в километрах. Сколько километров составляет длина всего веломаршрута?

7

Ответ: 52.

Решение. Проведём 4 прямые: через самый верхний и самый нижний горизонтальные участки, а также через самый левый и самый правый вертикальные участки. Представим

себе новый веломаршрут, который идёт только по этим четырём линиям, т. е. по конту- ру прямоугольника в пересечении этих четырёх прямых. Легко видеть, что длина этого нового маршрута совпадает с длиной исходного.

6

Найдём длину нового веломаршрута. Верхняя (как и нижняя) горизонтальная сторона получившегося прямоугольника составляет 4 + 7 + 2 = 13 км, а левая (как и правая) вертикальная сторона составляет 6+7 = 13 км. Значит, общая длина маршрута составляет 13 + 13 + 13 + 13 = 52 км.

Задача 4.5. Цифры надели маски (одинаковые цифры — в одинаковых масках, разные — в разных). За какой маской какая цифра спряталась?

Под маской слона спрятана цифра:

Под маской мышки спрятана цифра:

Под маской свинки спрятана цифра:

Под маской панды спрятана цифра:

Ответ: Цифра «слона» — это 6, цифра «мышки» — это 4, цифра «свинки» — это 8, цифра

«панды» — это 1.

Решение. В обоих примерах произведение двух одинаковых цифр даёт двузначное число, оканчивающееся не на ту же цифру. Перечислим все варианты того, как такое вообще возможно:

4 ⋅ 4 = 16, 7 ⋅ 7 = 49, 8 ⋅ 8 = 64, 9 ⋅ 9 = 81.

То, что цифра «мышки», умноженная на себя, оканчивается на цифру «слона», означает, что эти две цифры имеют одинаковую чётность (либо обе чётные, либо обе нечётные). Следовательно, в первом примере в правой части находится двузначное число из цифр одинаковой чётности, и этот пример однозначно восстанавливается: 8 ⋅ 8 = 64. Тогда во втором примере правая часть заканчивается на 6, и он тоже восстанавливается однознач- но: 4 ⋅ 4 = 16. Следовательно, цифра «слона» — это 6, цифра «мышки» — это 4, цифра

«свинки» — это 8, цифра «панды» — это 1.

Задача 4.6. Четвероклассник Вася каждый учебный день ходит в столовую и покупает либо 9 зефирок, либо 2 пирожка с мясом, либо 4 зефирки и 1 пирожок с мясом. Иногда Вася настолько занят общением с одноклассниками, что вообще ничего не покупает. За 15 учебных дней Вася купил 30 зефирок и 9 пирожков с мясом. Сколько из них было дней, когда он не покупал ничего?

Ответ: 7.

Решение. Переберём все варианты, сколько раз Вася мог покупать 9 зефирок — ясно, что это не могло происходить более трёх раз.

Предположим, Вася ни разу не покупал 9 зефирок. Тогда 30 зефирок он покупал пачками по 4 штуки в некоторые дни, но 30 не делится на 4. Противоречие.

Предположим, Вася ровно один раз покупал 9 зефирок. Тогда остальные 30 − 9 = 21 зефирку он покупал пачками по 4 штуки в некоторые дни, но 21 не делится на 4. Проти- воречие.

Предположим, Вася ровно два раза покупал 9 зефирок. Тогда остальные 30 − 9 ⋅ 2 = 12 зе- фирок он покупал пачками по 4 штуки в некоторые дни. Значит, было ровно 3 дня, когда Вася покупал 4 зефирки и 1 пирожок с мясом. Поскольку остальные 9 − 3 = 6 пирожков с мясом он покупал пачками по 2 штуки, то такое происходило ровно три раза. Тогда дней, когда Вася не покупал ничего, было ровно 15 − 2 − 3 − 3 = 7.

Предположим, Вася ровно три раза покупал 9 зефирок. Тогда остальные 30 − 9 ⋅ 3 = 3 зефирки он покупал пачками по 4 штуки в некоторые дни, но 3 не делится на 4. Проти- воречие.

Задача 4.7. На фестиваль тёзок приехали 45 Александров, 122 Бориса, 27 Василиев и несколько Геннадиев. В начале фестиваля все они встали в ряд так, что никакие два че- ловека с одинаковыми именами не стояли рядом. Какое наименьшее число Геннадиев могло приехать на фестиваль?

Ответ: 49.

Решение. Поскольку всего Борисов 122, и между любыми двумя из них стоит хотя бы по одному не Борису (Александру/Василию/Геннадию), то не Борисов хотя бы 121. Посколь- ку есть всего 45 Александров и 27 Василиев, то Геннадиев хотя бы 121 − 45 − 27 = 49.

Заметим также, что на фестивале могло быть ровно 49 Геннадиев. Пусть в шеренге стояли 122 Бориса. Затем 121 промежуток между ними начали заполнять остальные люди: в пер- вые 45 промежутков встало по Александру, в следующие 27 — по Василию, в следующие 49 — по Геннадию. Легко понять, что все условия задачи выполняются.

Задача 4.8. У купца есть 6 мешков, которые весят 13, 15, 16, 17, 21 и 24 кг. Один мешок заполнен репой, а каждый из оставшихся — либо луком, либо морковью. Купец знает, что суммарный вес моркови в два раза больше суммарного веса лука. В каком мешке может находиться репа? Укажите все возможные варианты.

Ответ: 13 или 16.

Решение. Лук суммарно весит целое число килограмм, а морковь — вдвое больше. Зна- чит, суммарно лук и морковь весят целое число килограмм, делящееся на 3, а находятся они во всех мешках, кроме какого-то одного. Общий вес всех мешков составляет 13 + 15 + 16 + 17 + 21 + 24 = 106 кг, тогда общий вес лука и моркови равен одному из следующих чисел:

• 106 − 13 = 93 кг;

• 106 − 15 = 91 кг;

• 106 − 16 = 90 кг;

• 106 − 17 = 89 кг;

• 106 − 21 = 85 кг;

• 106 − 24 = 82 кг.

Нам подходят только 93 и 90.

Репа могла находиться в мешке весом 13 кг, если лук находился в мешках весом 15 и 16 кг, а морковь — в мешках весом 17, 21 и 24 кг. Действительно, 17 + 21 + 24 = 62 = 2 ⋅ (15 + 16).

Репа также могла находиться и в мешке весом 16 кг, если лук находился в мешках весом

13 и 17 кг, а морковь — в мешках весом 15, 21 и 24 кг. Действительно, 15 + 21 + 24 = 60 =

2 ⋅ (13 + 17).