Разработка урока

А(8) Дата 19.11. 2025

Конспект урока "Основное свойство дроби. Сокращение дробей"

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится.

при любых a, b и c верны равенства

Деление числителя и знаменателя на одно и то же число называется сокращением дроби.

Равенство,   справедливо и не только при натуральных, но и при любых значениях переменных a, b и c при которых знаменатель не равен нулю.

Рациональные дроби  тоже можно преобразовывать таким же образом.

Рациональная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.

Основное свойство рациональной дроби сводится к тому, что:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменной. Такие равенства называют тождествами.

Определение:

Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых значениях переменных, называются тождественно равными.

Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.

Равенство

Основное свойство рациональной дроби позволяет сокращать дроби и приводить дробь к новому знаменателю.

Чтобы сократить рациональную дробь, нужно предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители.

Задание

Сократить дробь.

Решение:

Задание

Привести дробь к указанному знаменателю.

Решение:

Итоги:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Основное свойство рациональной дроби позволяет сокращать дроби и приводить дробь к новому знаменателю.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Чтобы из одной дроби вычесть другую дробь с таким же знаменателем, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде эти правила можно записать так:   

Например

Эти равенства являются тождествами, т.к. они верны при любых значениях переменных a, b и c, кроме цэ равного нулю.

Доказательство:

Таким образом, складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями.

Правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило можно записать так:

Это правило справедливо при сложении любого числа дробей.

Пример 1. Найти сумму дробей.

Решение:

Пример 2. Найти сумму дробей.

Решение:

Пример 3. Найти сумму дробей.

Решение:

Вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению.

Правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило можно записать так:

Пример 4. Найти разность дробей.

Решение:

Пример 5. Найти разность дробей.

Решение:

Пример 6. Выполнить действия.

Решение:

Итоги:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями выполняется аналогично сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, но предварительно нужно дроби привести к общему знаменателю.

Например:

Аналогичным образом выполняют вычитание рациональных дробей с разными знаменателями.

Пример 1. Найти сумму дробей.

Решение:

Пример 2. Найти разность дробей.

Решение:

Мы рассмотрели простейшие случаи на сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Но чаще всего приходится сначала дроби приводить к общему знаменателю, а затем уже выполнять сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

 Алгоритм приведения рациональных дробей к общему знаменателю:

1.     Разложить знаменатели каждой из дробей на множители.

2.     Найти общий знаменатель дробей.

3.     Для каждой из дробей найти дополнительный множитель.

4.     Числитель дроби умножить на её дополнительный множитель.

5.     Записать каждую дробь с числителем и общим знаменателем.

Пример 3. Найти сумму дробей.

Решение:

Пример 4: Найдите разность дробей.

Решение:

Алгоритм сложения (вычитания) рациональных дробей с разными знаменателями.

Для того чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1.     Найти общий знаменатель дробей.

2.     Привести дроби к общему знаменателю.

3.     Сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

4.     По возможности упростить полученную дробь.

Задание: нужно преобразовать выражение и представьте его в виде дроби.

Решение:

Итоги:

Для того чтобы привести рациональные дроби к общему знаменателю, надо:

1.     Разложить знаменатели каждой из дробей на множители.

2.     Найти общий знаменатель дробей.

3.     Для каждой из дробей найти дополнительный множитель.

4.     Числитель дроби умножить на её дополнительный множитель.

5.     Записать каждую дробь с числителем и общим знаменателем.

Для того чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1.     Найти общий знаменатель дробей.

2.     Привести дроби к общему знаменателю.

3.     Сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

4.     По возможности упростить полученную дробь.