Разработка занятия на повторение по теме : «Расстояние от точки до плоскости»

Тема: «Расстояние от точки до плоскости»

Цели урока:

Образовательные:  обобщить, систематизировать, расширить и углубить теоретические знания и умения по теме «Расстояние от точки до прямой». Рассмотреть различные методы решения геометрических задач. Применить рассматриваемые приемы, методы, подходы при решении конкретных задач.

Развивающие:   развивать мыслительную деятельность, пространственное воображение; умение классифицировать, развивать познавательный интерес, математическую речь.

Воспитательные:   воспитывать наблюдательность, устойчивую мотивацию к обучению, прививать эстетические навыки при выполнении рисунков, культуру общения, внимание к другим; умение оказать помощь друг другу.

I .Организационный этап. У учащихся должна быть с предыдущего занятия теория и основные формулы, необходимые для решения задач.

II. Постановка цели. При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из большого количества теорем не просто. Это связано с тем, что редко какая задача в геометрии может быть решена с использованием определенной формулы. При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов теории, доказательства тех или иных утверждений, справедливых лишь при определенном расположении элементов фигур. Но и при хорошем знании теории приобрести навык в решении задач можно лишь решив достаточно много задач, начиная с простых и переходя к более сложным, и самое главное, владея различными методами решения задач. Кроме того, во многих случаях требуется найти еще правильную далеко не всегда очевидную идею решения, осуществить дополнительные построения.

Очень часто геометрическое решение требует довольно подробных, громоздких пояснений, а аналитические методы позволят находить простое решение довольно трудных задач. В каких-то случаях более красивым и простым оказывается геометрический способ. А решение одной задачи несколькими способами гораздо полезнее, чем решение нескольких задач одним способом.

III. Актуализация знаний. 

1. Повторить:

- определение расстояния от точки до прямой,

- формулу расстояния между двумя точками,

- определение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости;

- длины вектора, заданного своими координатами;

- расстояние между двумя точками, заданными своими координатами;

- теорему косинусов;

1. Устная работа по готовому чертежу единичного куба A…D₁:

- назовите взаимно перпендикулярные плоскости (обратить внимание учащихся на плоскости, проходящие через диагонали основания и диагонали куба);

- назовите плоскости, перпендикулярные прямым: АВ,  АС, АА_1, АС₁;

- найдите расстояние от точки А до прямой: а) DС; б) D₁А₁;

в) B₁C₁; г) BС₁; д) BC; е) CС₁; ж) C₁А₁; з) ДB.

IV.  Выполнение упражнений с разбором теории.

Чтобы найти расстояние между двумя точками, между точкой и прямой, часто оказывается целесообразным построить такой прямоугольный треугольник, одной из сторон которого оказывается искомый отрезок, затем найти две другие его стороны и воспользоваться теоремой Пифагора. В некоторых случаях отрезок рассматривают как сторону треугольника, у которого удается вычислить две другие стороны и косинус угла между ними. Тогда используется теорема косинусов. Также для вычисления отрезка используются и другие пути.

Рассмотрим решение задачи с использованием определения.

Задача 1. (Решает учитель)

В кубе  все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой . 

Решение.
Проведем отрезок  и опустим перпендикуляр СН на . 

Искомое расстояние равно высоте СН прямоугольного треугольника  с прямым углом С: 

.

Ответ: . 

Задача 2. (Решают на доске 3 учащихся, желательно различными способами.) После этого решения рассматриваются и комментируются. Остальные ученики в это время решают задачу самостоятельно.

В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние от точки A до прямой BD₁. 

 Первое решение. Искомым перпендикуляром является высота AH прямоугольного треугольника ABD₁, в котором AB = 1, AD_1­ = , BD₁ = . Для площади S этого треугольника имеют место равенства . Откуда находим AH = .

 Второе решение. Искомым перпендикуляром является высота AH прямоугольного треугольника ABD₁, в котором AB = 1, AD_1­ = , BD₁ = . Треугольники BAD₁ и BHA подобны по трем углам. Следовательно, AD₁:BD₁ = AH:AB. Откуда находим AH = .

Третье решение. Искомым перпендикуляром является высота AH прямоугольного треугольника ABD₁, в котором AB = 1, AD_1­ = , BD₁ = . Откуда  и, следовательно, 
Ответ. .

При нахождении углов и расстояний в пространстве поэтапно вычислительным методом часто возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, сопровождающими эти построения. Надо иметь хорошее пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач. Поэтому нам на помощь приходят координатный или векторный методы. Они позволяют избежать такого рода трудностей. От учащегося требуются знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач, основная нагрузка при решении задачи приходится на вычислительную часть. Поэтому в некоторых случаях легче ввести прямоугольную систему координат или выбрать базисные вектора. Давайте попробуем применить при решении задач эти методы.

Решаем задачу № 2, сначала с помощью метода координат, вместе с учащимися выбрав удобное расположение прямоугольной системы координат и записав координаты нужных точек. Учащиеся самостоятельно пробуют вычислить необходимое расстояние, используя формулу расстояния между двумя точками. Убеждаемся, что получили точно такой же ответ.

Затем решаем эту задачу с помощью векторного метода. При этом совместно с учащимися составляем таблицу умножения векторов и вспоминаем, как выражать вектора через базисные векторы. Учащиеся должны получить точно такой же ответ.

При наличии времени и отсутствии вопросов, решаем задачу № 3 различными способами.

Задача № 3.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром . Найдите расстояние от середины ребра B₁C₁ до прямой MT, где точки M и T– середины ребер CD и A₁B₁ соответственно.

V. Подведение итогов . Задача С2 относится к задачам  повышенного уровня сложности с развернутым ответом. При выполнении задачи в бланке ответов № 2 должно быть записано полное обоснованное решение и ответ. Требуется, чтобы сделанные выкладки были последовательны и логичны, ключевые моменты решения обоснованы, а математические термины и символы использованы корректно.  Задача С2 является стереометрической задачей средней сложности, посильной для большинства успевающих выпускников. Полное правильное решение  задачи С2 оценивается 2 баллами.

Оценка выполнения задач второй части проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев, базирующейся на следующих требованиях. Метод и форма записи решения могут быть произвольными, но решение должно быть математически грамотным, полным и  обоснованным. При этом оцениваются продвижения выпускника в решении задачи. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.

Рекомендации при решении задач по геометрии:

- внимательно прочитать условие задачи;

- построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный);

- дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки;

- определить зависимости между элементами;

- рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия.

VI. Домашнее задание. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁найдите расстояние от точки A до прямой: a) B₁D₁; б) А₁С; в) BD₁ различными способами.

2