Рекомендации для решения тригонометрических уравнений

I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям

Схема решения

Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

Ответ:

II. Замена переменной

Схема решения

Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

Шаг 4. Сделать обратную замену.

Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

1. Пусть

2. 

Ответ:

III. Однородные уравнения

Схема решения

Шаг 1. Привести данное уравнение к виду

a)

(однородное уравнение первой степени)

или к виду

б)

(однородное уравнение второй степени).

Шаг 2. Разделить обе части уравнения на

а) ;

б) ;

и получить уравнение относительно :

а) ;

б) .

Шаг 3. Решить уравнение известными способами.