Решение логарифмических уравнений

Практическое занятие

Решение логарифмических уравнений

1) Подготовительный этап.

Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Решите уравнение: = 3

Решение: по определению логарифма получаем уравнение: х – 2 = 3³, х – 2 = …, х = 27 + 2,

х = …

Проверка: при х = 29, = 3 – верно

Ответ: х = 29

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: 

Приравниваем подлогарифмические выражения:

  D = ( 5)² 4 1 ( ) = 25 + 56 = …, Х ₁= = …, Х₂ = =

Проверка: при х = 7, - верно

при х = - 2, - неверно

Ответ:  x = 7

Пример 3. Решите уравнение Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений заменой.

Пусть   . Тогда уравнение примет вид: у² – 4у + 4 = 0, D = (- 4)² - 4 ∙1 ∙ 4 = 16 - … = 0, у = = ... . Делаем обратную замену: . Тогда по определению логарифма получаем, что х = 3², х = …

Ответ: х = 9

Пример 4. Решите уравнение:   

Решение: 

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому можно перейти к следующему уравнению:

(х + 2) (х + 3) = 1 х, х² + 3х + 2х + 6 – 1 + х = 0, х² + 6х + 5 = 0,

D = (6)² 4 1 5= 36 – 20 = …, Х ₁ = = , Х₂ = = –....  

Проверка: при х = – 5, - неверно

при х = – 1, - верно

Ответ: x = – 1

Пример 5. Решите уравнение:

Решение:

Перепишем исходное уравнение, используя свойства суммы логарифмов. Получим следующее уравнение: По определению логарифма получим уравнение:

(3х ) (х ) = ,

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = ( 92)² 4 1 ( ) = 8464 + 8436 = …,

Х₁= = = …, Х₂ = = .

Проверка: при х = 37, - верно

при х = , - неверно

Ответ: х = 37

2) Практический этап.

Вариант 1 Вариант 2

1. = 2

2. 

3. 

4. 

5. 

1. = 2

2. 

3. 

4. 

5. 

3) Дополнительные задания^*

Решите уравнение.

1. lg(х – 1)² = 0

2. log₂ log₃ Х = 1

3. log₃ log₂ log₂ Х = 0

4. log₂ log₃ Х² = 2

5. lgХ = 2 – lg5

6. lg Х – lg11 = lg19 – lg(30 – Х)

7. 

8. log₃(x² – 4x + 3) = log₃(3x + 21)

9. log₂(9 – 2^x) = 3 – x

10. log₃(Х – 2) + log₃ Х = log₃8

11. log₂²Х + 3 = 2 log₂ Х²

12. lg²x² – 10 lgx + 1 = 0

13. log₄(x + 3) – log₄(x – 1) = 2 – log₄8

14. 0,5 lg(2x – 1) + lg

15. log_x+1(x² – 3x + 1) = 1