Решение олимпиадных задач по математике

Задачи для 7-го класса

1. В семиугольнике провели несколько диагоналей̆ как показано на рисунке, а в вершинах семиугольника расставили целые числа. Для каждой̆ стороны семиугольника оказалось, что одно из чисел,
   стоящих на концах стороны, делится на другое. Может ли при этом так быть, что для любых двух чисел, стоящих на концах проведённой̆ диагонали, ни одно из них не делится на другое?

2. На круговом шоссе длиной 13 км находятся пять различных населённых пунктов A, B, C, D, E. Может ли быть так, что кратчайшее расстояние по шоссе от A до B равно 3 км, от B до C — 6 км, от C до D — 4 км, от D до E — 5 км, а от E до A — 6 км?

3. В клетках квадрата 7×7 стоит 100 крестиков. Нашлось три горизонтали, в клетках которых в сумме содержится не менее 70 крестиков, и три аналогичные вертикали. Докажите, что либо в какой-то клетке нет ни одного крестика, либо найдется клетка, в которой стоит не меньше семи крестиков (либо и то, и другое).

4. В сидячем вагоне поезда стоят трехместные скамейки для пассажиров: 20 рядов по 2 скамейки. Костя заметил, что на каждом ряду сидит 3 или 5 человек. Потом Костя подсчитал, на скольких скамейках сидит 3 человека и на скольких — один человек. Найдите сумму Костиных чисел.