Решение олимпиадных задач по математике

Решение олимпиадных задач по математике

Задачи для 5 класса

Подготовила учительница Асаликентской ООШ

Усманова Л.А.

Цели :

• Разбор олимпиадных задач на уроках и во внеурочное время для повышения интереса и склонности к занятиям математикой

Задача 1

• Есть четыре камня, разной массы. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти самый тяжелый и самый легкий камни?

Решение задачи 1:

• Взвешиваем 1 и 2, 3 и 4 камни. Затем сравниваем массы двух более лёгких и двух более тяжёлых камней двумя взвешиваниями. Всего 4 взвешивания.

Задача 2. На карте обозначены четыре деревни: A, B, C и D, соединённые тропинками (см. рисунок). В справочнике указано, что на маршрутах A-B-C и B-C-D есть по 10 колдобин, на маршруте A-B-D колдобин 22, а на маршруте A-D-B колдобин 45. Туристы хотят добраться из A в D так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо двигаться?

Решение задачи 2 :

•   Существует три возможных маршрута из A в D:  1) A-D;  2) A-B-D;  3) A-B-C-D.    Из того, что на маршруте A-B-D находятся 22 колдобины, следует, что на тропинке B-D их не больше чем 22. Значит, из 45 колдобин маршрута A-D-B не меньше
• чем 23 колдобины находятся на тропинке A-D. Таким образом, маршрут 2) выгоднее маршрута 1).   Поскольку на маршруте A-B-C есть 10 колдобин, то на тропинке A-B их не больше 10. Значит, из 22 колдобин маршрута A-B-D не менее двенадцати приходится на тропинку B-D. Но на участке B-C-D есть только 10 колдобин, поэтому он выгоднее чем B-D. Итак, маршрут 3) выгоднее маршрута 2).
• Ответ
• По маршруту A-B-C-D.

Задача 3.

• Одноклассники Аня, Боря и Вася живут на одной лестничной клетке. В школу они идут с постоянными, но различными скоростями, не оглядываясь и не дожидаясь друг друга. Но если кто-то из них успевает догнать другого, то дальше он замедляется, чтобы идти вместе с тем, кого догнал.   Однажды первой вышла Аня, вторым Боря, третьим Вася, и какие-то двое из них пришли в школу вместе. На следующий день первым вышел Вася, вторым Боря, третьей Аня. Могут ли все трое прийти в школу вместе?

Решение задачи 3:

• Пусть Аня ходит медленнее Бори, а Вася намного медленнее их обоих. Тогда в первый день Боря догонит Аню, дальше они пойдут со скоростью Ани, но медленный Вася их все равно не догонит. На следующий день Боря догонит Васю, и дальше они пойдут со скоростью Васи, после чего их сможет догнать Аня.
• Ответ
• Могут.
• Замечания
• Отметим, что если в первый день в школу пришли вместе Вася и Боря, то Вася ходит быстрее Бори, следовательно, на следующий день Вася пришёл бы в школу в одиночку (Боря его не сумел бы догнать, а Ане пришлось бы сначала догнать Борю, после чего она стала бы идти с его скоростью).

Задача 4

Из трех жителей К, М и Р отдаленного района один является правдолюбцем, другой – лжецом, а третий – хитрецом. Они произнесли следующие утверждения – К: “Я хитрец”. М: “Это правда”. Р: “Я не хитрец”. Кем в действительности являются К, М и Р? (хитрец может говорить правду, а может солгать).

Решение задачи 4:

• К – лжец, М – хитрец, Р – рыцарь.
• Пусть К – хитрец, тогда М – рыцарь, Р – лжец, что невозможно.
• Значит К – лжец.

Задача 5.

• Есть пять батареек, из которых три заряжены, а две разряжены. Фотоаппарат работает от двух заряженных батареек. Можно вставить в него любые две батарейки и проверить, работает ли он. Как за четыре таких попытки гарантированно включить фотоаппарат?

Решение задачи 5:

• Пронумеруем батарейки: 1, 2, 3, 4, 5. Первым испытанием вставим в фотоаппарат батарейки 1 и 2. Если они включат фотоаппарат — всё в порядке. Если нет, то среди батареек 1 и 2 хотя бы одна разряжена, значит, среди трёх остальных — не более одной разряженной. Тремя следующими испытаниями перепробуем все пары оставшихся батареек: 3, 4; 3, 5; 4, 5 — и обязательно найдем пару заряженных.

Задача 6

• Сумма 13 различных натуральных чисел равна 92. Найдите все такие натуральные числа.

Решение задачи 6:

Определение наименьшей возможной суммы: Наименьшая сумма для 13 различных натуральных чисел будет, если мы возьмем 12 наименьших натуральных чисел и добавим одно наибольшее возможное число, чтобы общая сумма была 92. Наименьшие 12 натуральных чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. Их сумма: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78 Чтобы получить сумму 92, нам нужно добавить еще: 92−78=14 Таким образом, нам нужно добавить число 14. Проверим, можно ли использовать числа от 1 до 12 и число 14: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+14=92 Это удовлетворяет условию задачи.

Проверка на уникальность и натуральность : Все числа от 1 до 12 и число 14 являются натуральными и различными.

Таким образом, 13 различных натуральных чисел, сумма которых равна 92, это: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14