Решение олимпиадных задач

Общие вопросы методики обучения решению  физических задач вопросах обучения учащихся решению физических задач, как и во многих других вопросах дидактической проблема- тики, нет и, по-видимому, не может быть однозначных ответов. Не всегда очевидны ответы на вопрос о том, что принять за основное, а что следует подвергнуть доказательству при определении путей обучения решению задач по физике. Опыт преподавания показывает: чтобы методологический инструментарий решения задач по физике сделать доступным учащимся и обнаружить его практическую направленность, необходимо показать его остов, объединяющий минимум фактических знаний и максимум размышлений.  1.1. Уровни методологии решения физических задач. Резервы повышения педагогической эффективности обучения решению задач по физике во всем своем богатстве объективных и потенциально высоких возможностей развития творческих способностей учащихся раскрываются при широком и систематическом использовании на уроках решения задач разных уровней методологии физики. Включение в содержание школьного физического образования специальных методологических знаний необходимо для того, чтобы его конкретное содержание усваивалось учащимися в системе, адекватной физике как науке. Можно выделить три основных уровня, на которых проводится решение физической задачи. Первый уровень характеризуется использованием частных физических законов, например, использованием законов динамики при решении задач по механике. Как правило, решение задачи на этом уровне требует использования более сложного или громоздкого математического аппарата, чем на последующих 6 уровнях. Второй уровень характеризуется использованием наиболее общих, фундаментальных физических законов, например таких, как закон сохранения энергии. Как правило, на этом уровне используемый математический аппарат оказывается проще, чем при решении той же задачи на первом уровне. Основная принципиальная сложность при решении задачи на втором уровне – это создание качественной картины изучаемого явления, которая позволяет записать уравнение, соответствующее закону сохранения определенной физической величины именно для рассматриваемого процесса. Здесь приходится проявлять особую внимательность, ибо часто незначительное изменение характера протекающего процесса может приводить к кардинальному изменению соответствующего уравнения и, наоборот, иногда разным протекающим процессам соответствуют одни и те же уравнения законов сохранения. В этом случае встает проблема отбора нужных корней. Наконец, третий уровень решения физической задачи характеризуется использованием общих методологических принципов физики – таких, как принципы симметрии, относительности, причинности, суперпозиции и т. д. При решении задачи на этом уровне иногда удается строго получить ответ, вообще не выписывая никаких уравнений. Часто удается сделать совершенно элементарными выкладки, которые были бы очень громоздкими при решении задачи на других уровнях. Особенно ценным является использование третьего методологического уровня в случаях, когда требуется перебор большого числа различных возможных вариантов: удачно выбранный. методологический принцип может помочь сразу выделить действительно реализующийся вариант из большого числа правдоподобных. Приведем решения одной и той же задачи на разных уровнях. Задача. Какую форму будет иметь некоторая масса покоящейся жидкости, оказавшаяся в космическом пространстве далеко от других тел? На третьем методологическом уровне, используя соображения симметрии, легко понять, что жидкость не может иметь никакой другой формы, кроме шарообразной, ибо в рассматриваемой 7системе отсутствуют какие-либо выделенные направления. Задачу можно решить и на втором уровне, используя энергетические соображения: система примет такую конфигурацию, при которой ее потенциальная энергия будет минимальной. Ясно, что в рассматриваемом случае можно говорить об энергии, связанной с ньютоновым притяжением отдельных элементов рассматриваемой массы жидкости друг к другу. Минимальность энергии жидкости будет достигнута при ее шарообразной форме. Обратим внимание на то, что при втором способе рассуждении нам потребовалась гораздо более детальная физическая модель явления. Наконец, решение этой задачи на первом уровне, основанном на рассмотрении условий равновесия отдельных элементов жидкости при их взаимодействии друг с другом, потребует еще большей детализации физической модели и привлечения достаточно громоздкого математического аппарата. Путем простых рассуждений, основанных на сопоставлении относительной роли различных взаимодействий, можно распространить решение этой задачи на случай массы жидкости, находящейся внутри космического корабля с выключенными двигателями. Отметим определенную условность разобранной задачи, ибо в стороне остался вопрос о тепловом балансе массы жидкости, находящейся в космическом пространстве. Этот баланс определяет возможность и время существования жидкой фазы в космосе. Таким образом, разные уровни общности методологии физики как науки могут эффективно использоваться при обучении учащихся решению задач уже в школьном курсе физики. Наш опыт преподавания свидетельствует о том, что развиваемое при этом мышление обучаемых – от интуитивного до строго математического – достаточно верно анализирует взаимосвязь явлений и позволяет описывать их на разных «языках». 1.2. Организация познавательной деятельности учащихся при решении задач по физике. Этапы решения физической задачи. 8 Решение задачи – это активный познавательный процесс, в котором наибольшую трудность для учащихся представляет вопрос с «чего начать», то есть не само использование физических законов, а выбор, какие именно законы и почему следует применять при анализе каждого конкретного явления. Опыт экспериментального преподавания показывает, что познавательная деятельность учащихся при решении физической задачи наиболее эффективна, если она организована на основе применения рассмотренной в п.1.1 трехуровневой методологии физики. При этом можно придерживаться следующих методических советов. Прежде всего, следует попытаться «угадать» ответ из «общих» соображений, найти его на полуинтуитивном уровне. Легко понять, что конструирование познавательной деятельности из «общих» соображений как раз и соответствует осознанному (а потому и более эффективному) или неосознанному (первые проявления интуиции) обращению к общим методологическим принципам физики. Как правило, на этом уровне отсутствует явная разработка физической модели рассматриваемого явления. Поэтому успех в решении задачи в значительной степени определяется умением неявно угадать или «почувствовать» основные черты такой модели. По существу, здесь важно уметь понимать, что может быть и чего не может быть в разбираемой физической ситуации. Даже если таким путем удастся найти решение конкретной задачи, то всегда полезно решить ее и более «стандартным» образом, апеллируя к наиболее общим, фундаментальным физическим законам. Для глубокого понимания физики необходимо четкое осознание степени общности различных физических законов, границ их применимости, их места в общей физической картине мира. Например, использование закона сохранения энергии часто позволяет взглянуть на разбираемую задачу с более общих позиций, чем при использовании конкретных законов, относящихся к определенному кругу явлений – механических, электрических, оптических и т. д. Использование фундаментальных законов, общих для всех физических явлений, как и использование методологических принципов физики, иногда дает возможность найти ответы на вопросы, касающиеся тех явлений, для которых учащимся неизвестны описывающие их 9конкретные законы. Научиться правильному применению фундаментальных законов не так просто. Здесь уже требуется тщательная разработка физической картины протекающих процессов, создание физической модели явления. Однако степень детализации этой картины, как правило, все-таки ниже необходимой при решении задачи на первом уровне, то есть при использовании частных физических законов. В целом, физические модели явления, создаваемые при решении задачи на первом и втором уровнях, весьма схожи между собой, различаясь только степенью детализации. А вот математические модели явления, возникающие после записи физических законов применительно к рассматриваемому случаю, могут оказаться совершенно различными. Здесь встает вопрос об адекватном выборе математического аппарата (п.2.2). К решению физической задачи на первом уровне следует приступать в том случае, когда ни использование методологических принципов, ни использование фундаментальных законов не позволили найти ответы на вопросы, поставленные в условии задачи. В этом случае, прежде чем выписывать соответствующие уравнения, полезно проанализировать задачу с точки зрения соображений подобия и размерности. Следует однако отметить, что эффективность метода анализа размерностей в большей степени, чем эффективность других методов, зависит от квалификации решающего задачу. Это довольно «сильный» метод, хотя простота его несколько обманчива. При должном умении этот метод удается использовать и при анализе задачи на методологическом уровне, что не исключает возможностей его применения и на других уровнях. Разумеется, в разных задачах удельный вес этих моментов будет различным, так как изложенная схема организации познавательной деятельности учащихся является не жесткой, а предполагает индивидуальное проектирование действий обучаемых в соответствии с требованиями методологии физики в любой комбинации ее подходов к решению задачи в зависимости от конкретной задачи и особенностей преобладающего типа мышления у ученика. В процессе решения задачи можно условно выделить три 10этапа: физический, математический и анализ решения. Физический этап предполагает, во-первых, обоснованный выбор идеализации изучаемого процесса, то есть разработку физической модели явления, сохраняющей его наиболее важные черты; во-вторых, выбор физических законов, которым удовлетворяет разработанная модель, и составление замкнутой системы уравнений, в число неизвестных которой входят искомые величины. По итогам предыдущего этапа создается математическая модель явления, которая может оказаться не единственной в зависи- мости от использованных физических законов. На этом этапе принципиально важно выбрать адекватный математический аппарат. Математический этап предусматривает получение общего решения задачи и нахождение числового ответа на вопрос задачи. На этапе анализа решения обязательно исследуются частные простые и предельные случаи, для которых ответ очевиден или может быть получен сразу независимо от общего решения; выясняется, при каких условиях осуществляется полученная зависимость; оценивается реальность результата; проверяется размерность полученной величины; при получении многозначного ответа исследуется соответствие подученных результатов условию задачи. Очень полезен также поиск и разбор аналогий с другими задачами и явлениями, а также сравнение методов их анализа. Кроме того, найденные решения должны удовлетворять регулятивным требованиям методологических принципов физики. В сложных задачах явного деления на этапы может и не быть, однако общая последовательность действий прослеживается. 1.3. Алгоритмический и эвристический подходы к решению физических задач. Решение физической задачи – это прежде всего мыслительный процесс, исследование психологических тонкостей которого выходит за рамки данной книги. Однако здесь уместно обсудить 11соотношение алгоритмического и эвристического подходов к формированию умения решать задачи по физике. В физике как науке субъективные пути достижения объективного результата многообразны и несут на себе отпечаток личностных качеств исследователя. Следовательно, при обучении решению физических задач необходимо систематически обращать внимание учащихся на то, что правильный физический результат может быть получен разными способами. Справедливо и обратное: результат, полученный при определенном способе рассуждении и не повторяющийся при использовании других подходов, как правило, неверен и является следствием использованных приближений, не отражающих суть изучаемого явления. На уроках решения задач это многообразие может быть реализовано описанными выше средствами разноуровневой методологии физики. На долю учителя выпадает руководство развитием познавательной деятельности учащихся от подражательно-репродуктив- ной к поисково-творческой. Поэтому при обучении решению задач важно возможно шире сочетать алгоритмические и эвристические подходы, отдавая сначала предпочтение алгоритмическому подходу с целью выработки и закрепления необходимых технических умений и навыков, затем делая все больший и больший крен в сторону эвристического подхода с целью максимального развития творческих способностей учащихся. Рассмотрим конкретный пример сочетания алгоритмического и эвристического подходов при решении определенной физической задачи. Задача. Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель измеряет промежуток времени t0 между двумя моментами, когда тело проходит точку А, находящуюся на высоте Н. Определить начальную скорость 0 брошенного тела. Алгоритмический путь решения этой задачи начинается с использования уравнения движения тела с постоянным ускорением свободного падения . В проекции на направленную вверх вертикальную ось оно имеет вид g  2 0   gtth 2 , (1.1) 12где h – высота относительно поверхности земли той точки, в которой находится тело спустя промежуток времени t после начала движения. В условии задачи говорится о нахождении тела на заданной высоте Н. Поэтому, подставляя в (1.1) h = Н, можно найти время t, когда тело находится на этой высоте. Уравнение (1.1) – квадратное относительно t. Решая его, находим g g g t 2 0 2,1   2H 2 0   . (1.2) По условию задачи тело побывало на высоте Н дважды. Это значит, что дискриминант в (1.2) положителен: 0 2 2 2 0  g H g  . 2gH 2 Откуда   0 – высота Н меньше максимальной высоты подъема тела 2g 2  0 , брошенного вертикально вверх с начальной скоростью  0. Итак, только из того факта, что тело побывало на высоте Н дважды, можно получить некоторую оценку для величины начальной скорости  0: 2gH .  0  Теперь задумаемся над смыслом каждого из корней квадратного уравнения (1.2). Поскольку g  0 есть время подъема тела на максимальную высоту, то значение t1, со знаком «минус» перед радикалом соответствует времени подъема тела на заданную высоту Н, а значение t2 со знаком «плюс» перед радикалом определяет время, по истечение которого тело снова окажется на высоте Н, спускаясь вниз: g H g g t 2 2 2 00 1   g H g g t 2 2 2 00 1   ; . Очевидно, что заданный в условии промежуток времени t0 равен разности значений t2 и t1: t0 = t2 – t1. Подставляя сюда значения t2 и t1, имеем g H g t 2 2 2 0 0   2 . Откуда 132 0 2 2 0 4 1  2  tggH . (1.3) При эвристическом подходе к решению приведенной задачи можно обойтись без использования исходного уравнения (1.1). Для этого достаточно только сообразить, что тело поднимается вверх от точки А на высоте Н в течение времени t0/2, останавливается, и затем падает до точки А в течение времени t0/2. Падая до точки А, тело успевает набрать скорость /2 01   gt . Теперь легко найти скорость , которую тело наберет, пройдя путь, равный Н, от точки А до поверхности земли: 2 0 2 2 1 2 4 1  2gH  2  tggH . Очевидно, что эта скорость  равна скорости 0, с которой тело было брошено вертикально вверх. Решение, основанное на эвристическом подходе, оказывается таким же строгим, как и приведенное выше решение, ибо использует только факт одинаковости времени подъема и падения тела, брошенного вертикально вверх, и кинематическое соотношение между перемещением, скоростями в начальной и конечной точках и ускорением при равнопеременном движении. Применительно к движению в поле земного тяготения это соотношение эквивалентно закону сохранения энергии (1.3). Эвристический подход часто позволяет получить ответ, вообще не выписывая никаких соотношений в явном виде. Рассмотрим следующую задачу. Задача. Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами m и M, причем m