Решение задач с помощью квадратных уравнений

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Приветствие.

Мы сегодня будем заниматься решением задач с помощью составления квадратных уравнений.

Приветствие.

Записывают в тетрадях число, «классная работа», тему урока.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

На доске ответы к номерам из домашней работы. Учитель контролирует процесс, отвечает на вопросы по домашнему заданию.

Ученики самостоятельно проверяют, отмечая в тетрадях верные/неверные ответы, задают вопросы учителю. По окончанию проверки домашнего задания ученики самостоятельно выставляют оценки в тетрадях.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Фронтальный опрос. Вопросы учащимся:

Какое уравнение называется квадратным?

Какие виды квадратных уравнений вы знаете? Чем они отличаются?

Что такое корень уравнения?

От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Отвечают на поставленные вопросы:

Квадратное уравнение – уравнение вида

ах²+вх+с=0, где а, в, с – числа, причем а ≠0.

Полные, приведенные (старший коэффициент а=1), неполные (если хотя бы один из коэффициентов (в,с) равен 0).

Корень уравнения – значение переменной, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль.

Количество корней уравнения зависит от его дискриминанта.

Вариант 1

Х²-4х+3=0

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

Вариант2

Х²-2х-2=0

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

Вариант3

36Х²-12х+1=0

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

Вариант4

2Х²-44х-46=0

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

Вариант 1

Х²+5х=0

1) 0;5 2) 1;5 3) 0;-5 4) 1;-5

Вариант2

Х²-49=0

1) 0;49 2)-49;49 3) -7;7 4)нет корней

Вариант3

-2Х²+14х=0

1)7;0 2)-7;0 3)1;7 4)-1;7

Вариант4

4Х²+ 68=0

1) 17/4 2) -17/4 3)± 4) нет корней

Вариант 1

2Х²-7х+5=0

1) 1 2) 2,5 3) 3 4) 3,5

Вариант2

3Х²-2х-1=0

1) 1 2)-1/3 3) -1 4) 3

Вариант3

8Х²-14х+6=0

1)1 2)-3/4 3)3/4 4) 3

Вариант4

4Х²-18х +14=0

1) 0 2) 1 3)3,5 4) 2

А1

А2

А3

Вариант 1

3

3

2

Вариант2

3

3

1

Вариант3

2

1

1

Вариант4

3

4

3

Деятельность учителя

Деятельность учеников

С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике.

Сколько решений может иметь задача, решенная с помощью линейного уравнения?

Сколько же решений может иметь задача, решенная с помощью квадратного уравнения?

На экран выводится пример первой задачи с решением. Происходит коллективная работа класса под руководством учителя:

обсуждение алгоритма решения задачи, что известно, что обозначим за «х», повторение теоремы Пифагора, анализ составленного уравнения, обсуждение полученных результатов.

При решении задач с помощью линейных уравнений или систем (рассмотренных ранее) могло быть два случая: одно решение или ни одного

Обсуждают решение предложенной задачи, отвечают на поставленные учителем вопросы. На экране:

Задача 1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Решение: Пусть меньший катет равен х см, тогда больший катет равен (х+4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е.

х²+(х+4)²=20².

Упростим это уравнение:

х²+х²+8х+16=400,

2х²+8х-384=0,

х²+4х-192=0.

Решив полученное квадратное уравнение, найдем, что

х₁=-16, х₂ = 12.

По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т.е. число 12 – меньший катет. Тогда больший катет будет 16 см.

Ответ: 12 см, 16 см.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Какие числа называются натуральными? Какое самое маленькое натуральное число?

Известно ли нам хотя бы одно из чисел?

Что мы обозначаем за «х»?

«Сильный» ученик решает у доски с подробным объяснением, остальные - в тетрадях.

Натуральные – числа, которые используются для счета предметов.

Самое маленькое натуральное число - 1.

Нет.

- Наименьшее.

Решение:

Пусть 1 натуральное число – х, тогда 2 натуральное число – (х+6). Произведение этих чисел равно 187. Составим и решим уравнение:

х (х+6) = 187

х² + 6х -187=0

D =36-4×1×(-187)=784 › 0 → уравнение имеет 2 действительных различных корня

х₁=-17 – не удовлетворяет условию задачи,

х₂=11 – 1 число, тогда 2 число : 17.

Ответ: 11; 17.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Контролирует процесс решения задачи, отвечает на вопросы.

«Сильный» ученик решает у доски с подробным объяснением, остальные - в тетрадях.

Решение: Пусть ширина прямоугольника – х см, тогда длина (х+4) см. По условию задачи площадь прямоугольника равна 60 см². Составим и решим уравнение:

Х (х+4) = 60

х²+4х-60=0

D₁= 2²-1×(-60) = 4+60= 64.

Х₁= -10 – не удовлетворяет условию задачи,

х₂=6 – ширина прямоугольника, тогда длина 10 см.

Периметр Р=2(а+в) , Р= 2( 6+10)= 32 (см).

Ответ: 32 см.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Контролирует процесс решения задачи, отвечает на вопросы.

Один ученик решает у доски с подробным объяснением, остальные - в тетрадях.

Решение: По условию периметр прямоугольника равен 62 м, значит Р= 2(а+в)=62, тогда полупериметр равен Р/2= а+в=31 (м).

Пусть одна сторона прямоугольника равна х м, тогда вторая сторона (31-х) м. По условию задачи площадь прямоугольника 210 м².

Составим и решим уравнение:

х ( 31-х)= 210

х² – 31х + 210=0

D= 121

Х₁= 10

х₂=21 .

Ответ: 10м; 21 м.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Контролирует процесс решения задач, отвечает на вопросы.

Работа в парах: «сильный» ученик помогает «слабому» с последующей проверкой – отвечает «слабый» ученик.

Решение:

Пусть один катет прямоугольного треугольника равна х м, тогда второй катет (23-х) м. По условию задачи площадь треугольника 60 м².

Составим и решим уравнение:

½ х ( 23-х)= 60

D= 49

Х₁= 8

х₂=15 .

Ответ: 8 см; 15 см.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Учитель предлагает оценить свою работу на уроке учащимся и поставить оценки в выданных каждому бланках

Работают с индивидуальными бланками

Отвечают на поставленный в начале урока вопрос.

Вид работы

Оценка

1

Выполнил тест

2

Правильно оформил и решил задачу № 563

3

Правильно оформил и решил задачу № 568

4

Активно работал на уроке

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Самоанализ учащихся по вопросам: Какая цель была у нас на уроке? Хорошо ли мы повторили и закрепили решение квадратных уравнений и задач? Как вы думаете, пригодятся ли вам знания, которые мы сегодня получили?

Появилось ли у вас желание больше узнать о задачах?

С каким настроение вы находились на уроке?

Отметки получают те ученики, кто отвечал у доски и активно работал с места. Учитель отвечает на вопросы, комментирует оценки за урок.

Спасибо за активную работу!

Научиться решать задачи с помощью квадратных уравнений.

Да

Да

Да

С хорошим.