Сборник задач на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Здесь приведены задачи С2, которые предлагались на ЕГЭ по математике, собранные из разных источников.

Расстояние от точки до плоскости.

1. (ЕГЭ,2012) В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D- середина ребра CC₁. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB₁.

Ответ:

2. (МИОО,2012) Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA= , сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M-середина ребра SC.

Ответ: 1

3. (МИОО,2011) В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁С₁D₁ сторона основания равна , а высота равна 1. М-середина ребра АА₁ . Найдите расстояние от точки М до плоскости DA₁C₁.

Ответ:

4. (Репетиционный ЕГЭ, 2011) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре равен.

Ответ: 3

5. (МИОО, 2011) Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, у которого AB=10,BD=12. Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани A₁B₁C₁D₁ до плоскости BDC₁.

Ответ:

6. (МИОО, 2011) В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC c гипотенузой AB, равной 2; высота призмы равна 2. Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости BCM, где М - середина ребра A₁C_1.

Ответ: 2

7. (МИОО, 2011) Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 1. Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD₁.

Ответ:

8. (МИОО, 2011) Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A₁BT, где Т - середина ребра AD.

Ответ:

9. (МИОО, 2010) Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ . Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC₁ до плоскости AB₁D₁.

Ответ:

10. В прямой треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известны ребра: AB=BC=1, AC=, AA₁=1. Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости A₁BC₁.

Ответ:

11. В правильной треугольной пирамиде SABC ( с вершиной S) сторона основания равна 2, боковое ребро равно 3. Найдите расстояние от точки С до плоскости ABS.

Ответ:

12. В прямой треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известны ребра: AB=AC=5, BC=6, AA₁=3. Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости A₁BC.

Ответ:

13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCS.

Ответ:

14. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 5, а высота равна 12. Найдите расстояние от середины ребра AA₁ до плоскости BC₁D₁.

Ответ:

15. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно . Найдите расстояние от точки A до плоскости BCS.

Ответ:

16. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна , а боковое ребро равно . Найдите расстояние от точки A до плоскости CDS.

Ответ:

17. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 5, а высота равна 8. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCE₁.

Ответ:

18. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 2, а высота равна 1. Найдите расстояние от точки C до плоскости BEF₁.

Ответ:

19. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки A до плоскости BDM, где М - середина ребра СС₁.

Ответ:

20. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от середины ребра СС₁ до плоскости AB₁C.

Ответ:

21. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 4, а высота равна 3. Найдите расстояние от середины ребра AA₁ до плоскости ACD₁.

Ответ:

22. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 1, а высота равна 2. Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁MC, где М-середина ребра BB₁.

Ответ:

23. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ( с вершиной S) сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Найдите расстояние от точки С до плоскости ABM , где М - середина ребра SC.

Ответ:

24. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки A до плоскости BDA₁.

Ответ:

25. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите расстояние от вершины C до плоскости BDC₁.

Ответ: 1

26. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 4, точки E и F- середины ребер AB и B₁C₁ соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP=3PD. Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника EPF.

Ответ:

27. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Точка M - середина ребра AA₁ . Найдите расстояние от точки М до плоскости DA₁C₁ .

Ответ:

28. (ЕГЭ, 2012) В правильно четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2.Точка Е - середина ребра AA₁. Найдите расстояние от вершины А до плоскости BED₁.

Ответ:

29. (ЕГЭ, 2011) В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка М - середина ребра AA₁, точка К - середина ребра BB₁ . Найдите расстояние от вершины A₁ до плоскости СМК, если AA₁=6, AB=4.

Ответ:

30. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости BFE₁.

Ответ:

31. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром . Найдите расстояние от вершины А до плоскости BDC.

Ответ: 2

32. В правильной треугольной пирамиде SABC точка S- вершина. Точка М-середина ребра SA, точка К-середина ребра SB. Найдите расстояние от вершины А до плоскости CМК, если SC=6, AB=4.

Ответ:

33. Известно, что в треугольной пирамиде все плоские углы при вершине – прямые. Найдите длину ее высоты, если длины ее боковых ребер равны a,b и c.

Ответ:. Указание. Использовать уравнение плоскости в отрезках.

34. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания ABC . Найдите расстояние от вершины A до плоскости, проходящей через середины ребер AB, AC и AD, если AD=2, AB=AC=10, BC=4.

Ответ: 2

35. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 3, а высота 2. Найдите расстояние от вершины A до грани PCD.

Ответ: 2,4

36. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания равна 2, а высота равна 1. Найдите расстояние от точки D до плоскости BCS.

Ответ:

37. На продолжение ребра SK за точку K правильной четырехугольной пирамиды SKLMN с вершиной S взята точка A так, что расстояние от точки A до плоскости MNS равно 24. Найдите длину отрезка KA, если SL=2,MN=16.

Ответ: 3

38. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF c основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К-середина ребра SB. Найдите расстояние от точки A до плоскости KDF.

Ответ: