Школьный тур олимпиады по математике 10 кл 2016 г

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП 2016-2017 уч. год

10 класс

(3 часа или 4 урока)

1. Петя ехал из Петровска в Николаевск, а Коля – наоборот. Они встретились, когда Петя проехал 10 км и ещё четверть оставшегося ему (после этого) до Николаевска пути, а Коля проехал 20 км и ещё треть оставшегося ему (после этого) до Петровска пути. Какое расстояние между Петровском и Николаевском?

Ответ: 50 км.

Решение. Пусть S км – искомое расстояние. Тогда до встречи Петя проехал 10 + 1/4 (S – 10) (км), а Коля – 20 + 1/3 (S – 20) (км). Следовательно, 10 + 1/4 (S – 10) + 20 + 1/3 (S – 20) = S. Решив уравнение, получим S = 50.

Критерии. Только верный ответ – 1 балл.

Верно составлено уравнение – 3 балла.

Верное решение – 7 баллов.

1. Суммы цифр натуральных чисел N и 17N равны. Докажите, что N делится на 3.

Решение. Так как суммы цифр равны, то остатки этих чисел при делении на 3 тоже равны. Тогда 17N–N=16N делится на 3. Так как 16 и 3 взаимно простые числа, то N делится на 3.

Критерии.

Если нет ссылки на взаимную простоту чисел 16 и 3 – не более 5 баллов.

Верное решение – 7 баллов.

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. На продолжении диагонали BD за точку D выбрана точка F такая, что AFBC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника ADF , касается прямой AC.

Решение. Условие касания равносильно тому, что угол CAD между прямой CA и хордой AD равен половине градусной меры дуги AD , то есть вписанному углу AFD, опирающемуся на эту дугу. Но из параллельности прямых BC и AF следует, что AFD=DBC =CAD (последнее равенство вытекает из того, что вписанные углы DBC и CAD опираются на одну дугу CD), что и требовалось доказать.

Критерии.

Верное решение – 7 баллов.

1. Сколько существует способов расставить на шахматной доске размером 8×8 пять одинаковых ладей так, чтобы никакие две из них не били друг друга?

Ответ: 376320.

Решение. Первый способ. Пронумеруем ладьи. Первую можно поставить 64 способами, вторую – 49, третью – 36, четвёртую – 25, пятую – 16. При этом можно менять ладьи, так как они неразличимы 5! способами. Значит, всего способов (64×49×36×25×16):5!=376320.

Второй способ. Можно сначала выбрать три строки, которые будут свободны от ладей, из восьми строк (8×7×6)/(1×2×3) способами. А затем найти число расстановок 5 ладей в таблице 8×5 – это будет 8×7×...×5×4 способов. Тогда находим общее число способов как произведение (8×7×...×5×4×8×7×6)/(1×2×3)=376320.

Критерии. Только верный ответ – 1 балл.

Верное рассуждение с вычислительной ошибкой – 3 балла.

Верное решение – 7 баллов.

1. По кругу стоят 30 коробочек, в одной из них лежат белый и чёрный камни, прочие коробочки пусты. Игроки перекладывают по очереди камни: первый перекладывает белый камень по часовой стрелке через одну или через две коробочки, второй – чёрный камень против часовой стрелки также через одну или через две. Победит тот, кто положит свой камень в коробочку с камнем соперника. Кто одержит победу при правильной игре?

Ответ: Второй.

Решение. Заметим, что если между камнями игроков четыре коробочки, то начинающий проиграл (разбор всех вариантов хода первого). При этом два хода в паре: один – через одну и другой – через две коробки, сокращают расстояние на ровно 5 коробок. Начальное расстояние между чёрным и белым камнями – 29 коробочек. Следовательно, первый обречён. Второй всегда играет «другим» ответным ходом из указанной пары ходов, сводит ситуацию к расстоянию в 4 коробочки и выигрывает.

Критерии. Только верный ответ – 0 баллов.

Верное решение – 7 баллов.