Стереометрия 1 курс

Стереометрия 10 класс

• 10 класс/Геометрия

1. Предмет стереометрии
2. Аксиомы стереометрии
3. Некоторые следствия из аксиом

Содержание сборника:

1. Предмет стереометрии

   • Конспект……………………………………….…………………. 2

   • Тест 1…………………………………………................. 5

   • Решение (тест 1)……………………………………………… 6

2. Аксиомы стереометрии

   • Конспект………………………………………………………..… 8

   • Задачи………………………………..……................... 9

   • Тест 2…………………………………………………….…………. 11

   • Решение (тест 2)………….….………………..…………. 13

3. Некоторые следствия из аксиом

   • Конспект………………………………………………………..… 15

   • Задачи…………………..………………………………..……... 17

   • Дополнительные задачи…………………….…………. 21

   • Решение (дополнительные задачи)…..…………. 23

   • Тест 3……………………………………………………………….. 25

   • Решение (Тест 3)…………………………………………….. 29

4. Обобщение по теме «Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них»

   • Конспект………………………………………………………..… 33

   • Тест 4……………………………………………………..……... 34

   • Решение (Тест 4) 36

   • Тест 5 40

   • Решение (Тест 5) 42

1. Предмет стереометрии

• Конспект (видеолекция)

ГЕОМЕТРИЯ

Планиметрия

раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости.

Стереометрия

раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве.

• Основные: точка, прямая

• Луч, отрезок, угол

• Треугольник

Изучаемые фигуры

• Основные: точка, прямая, плоскость

• Многогранники: Куб, призма, пирамида

• Параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб)

• Трапеция

• Многоугольник

• Окружность, круг

• Тела вращения: цилиндр, конус, шар

Исследуя реальные предметы, геометрия рассматривает только их форму и взаимное расположение, отвлекаясь от других свойств предметов, таких как плотность, вес, цвет. Это позволяет перейти от пространственных отношений между реальными объектами к любым отношениям и формам, возникающим при рассмотрении однородных объектов, и сходным с пространственными.

При изучении пространственных фигур пользуются их изображениями на чертеже.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

Обозначение плоскости - ,  ,

_MNK _.

Обозначения

A a B  a A

B 

Точка A

принадлежит прямой a

Точка B не принадлежит

прямой a

Точка A

принадлежит плоскости



Точка B не принадлежит

плоскости



a  

b  

Прямая a лежит в плоскости



Прямая b не лежит в плоскости



b    A



Прямая b пересекает плоскость

в точке A

   c

Плоскости

 _и ^

пересекаются по прямой c

• Тест 1. Предмет стереометрии Вариант 1

1. _{Планиметрия} – это раздел геометрии, изучающий …

1. _{Изобразите} прямую a и точки А, В и С, не принадлежащие данной прямой. Сделайте необходимые записи.

1. ^{Изобразите} плоскость  , точки Е, F, принадлежащие ей, и точку G, ей не принадлежащую. Сделайте необходимые записи.

1. _{Изобразите} прямую а, лежащую в плоскости  . Сделайте необходимую запись.

1. ^{Изобразите} две пересекающиеся плоскости  и  . Сделайте необходимую запись.

• Тест 1. Предмет стереометрии Вариант 2

1. _{Стереометрия} – это раздел геометрии, изучающий …

1. _{Изобразите} две прямые a и b, пересекающиеся в точке О, и точки А, В и С так, чтобы точка А

принадлежала прямой а, точка В принадлежала прямой b, точка С не принадлежала этим прямым.

Сделайте необходимые записи.

1. _{Изобразите} плоскость  , не принадлежащие ей точки K, L и принадлежащую ей точку M. Сделайте необходимые записи.

1. ^{Изобразите} прямую b, пересекающую плоскость  в точке О. Сделайте необходимую запись.

1. ^{Изобразите} три пересекающиеся по прямой а плоскости  ,  и  . Сделайте необходимую запись.

1. _{Планиметрия} – это раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости.

1. ^Aa, Ba, C a

1. ^E  , F  , G

a  

1. ^  

1. _{Стереометрия} – это раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве.

1. 

Aa,

Bb,

Ca,

Cb,

a b  O

3. ^{M  , K  , L}

^4. b    O

^{5.      c}

1. Аксиомы стереометрии

• Конспект (видеолекция)

Аксиомы геометрии представляют собой исходные положения, на основе которых строится вся геометрия, т.е. путем логических рассуждений устанавливаются свойства геометрических фигур.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающихся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

• Аксиома 1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Плоскость (MNK)

Сколько плоскостей можно провести через

три точки, лежащие на одной прямой?

• Аксиома 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

МК – кривая.

• Аксиома 3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Задача №1

Назовите:

а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC;

б) точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью ADB;

в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC;

г) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC;

Пересекаются ли прямые МК

и АС, МК и ВС?

Задача №2

Назовите:

а) точки, лежащие в плоскостях

DCC₁ и BQC ;

б) плоскости, в которых лежит

прямая

AA₁ ;

в) точки пересечения прямой MK с плоскостью ABD , прямых DK и BP с

плоскостью A₁B₁C₁ ;

г) прямые, по которым пересекаются плоскости

AA₁B₁

и ACD ,

PB₁C₁ и ABC ;

д) точки пересечения прямых

MK и DC ,

C₁M и DC .

B₁C₁

и BP ,

Пересекаются ли прямые и KM , BQ и KM ?

A₁D₁

1. _Каково взаимное положение двух прямых в пространстве. Если они имеют две общие точки?

1. Три точки в пространстве не определяют положение плоскости, которая проходит через них. Как расположены эти точки?

1. _Точки А, В и С принадлежат плоскости  . Принадлежит ли плоскости  точка E?

1. _Могут ли вершины замкнутой ломаной линии, состоящей из трех звеньев, не принадлежать одной плоскости?

1. _Точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Принадлежит ли точка С плоскости, в которой лежат точки А, В и О?

1. _Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку?

1. ^{Плоскости}  и  пересекаются по прямой m. Прямая a принадлежит плоскости  и пересекает плоскость  в точке M. Принадлежит ли точка М прямой m? Сделайте чертеж.

1. Постройте точку пересечения прямой AB с плоскостью  (точки A и B принадлежат ).

1. Могут ли две различные прямые в пространстве иметь более одной общей точки?

1. _Как расположены две плоскости, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой?

1. _Точки А, В и С принадлежат плоскости  . Принадлежит ли плоскости  точка F?

1. _Могут ли вершины замкнутой ломаной линии, состоящей из четырех звеньев, не принадлежать одной плоскости?

1. _Точка О – центр окружности, описанной около четырехугольника АВСD. Точки А, О и С принадлежат плоскости. Принадлежит ли этой плоскости вершина D?

1. _Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?

1. ^{Даны две пересекающиеся плоскости}  и  . Прямая a принадлежит плоскости  и пересекает плоскость  в точке А. Прямая b принадлежит плоскости  и пересекает плоскость  в точке В. Сделайте чертеж и назовите линию пересечения плоскостей  и  .

1. Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью  (точки E и F принадлежат  ).

   • Решение (Тест 2). Аксиомы стереометрии Вариант 1

1. _Прямые сливаются.

1. _Лежат на одной прямой.

1. _Дано: A, B,C 

E  ?

Решение:

1. A, B   AB  (аксиома 2)

A , C   AC  (аксиома 2)

AC  d  D  D 

1. ^AB  d  K  K 

 DK  (аксиома 2)

1. E  DK  E .

1. _Нет. Т.к. вершины замкнутой ломаной, состоящей из трех звеньев – это три точки, не лежащие на одной прямой, значит, по аксиоме 1 существует единственная плоскость, которой принадлежат все

звенья этой ломаной.

1. _Не всегда.

Если треугольник прямоугольный, то центр описанной

окружности - т. О лежит на середине гипотенузы АВ. Значит, через три точки, лежащие на одной прямой А-О-В можно провести сколько угодно плоскостей, которые не обязательно проходят через точку С.

1. _Нет. Т.к. по аксиоме 3, если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой расположены все общие точки этих плоскостей.

_7. Дано:     m, a , a    M

M  m ?

Решение:

М – общая точка плоскостей  и  .

По условию прямая m – прямая пересечения этих плоскостей, значит M  m по аксиоме 3.

^8.     m

AB , AB  m  M

AB    M

• Решение (Тест 2). Аксиомы стереометрии Вариант 2

1. _Нет.

2. Они совпадают.

1. _Дано:

A, B,C 

F  ?

Решение:

1. A, B   AB  (аксиома 2)

A , C   AC  (аксиома 2)

AB  KN  K  K 

1. ^AC  KN  N  N 

 KN  (аксиома 2)

1. F  KN  F .

1. _Да.

Т.к. вершины замкнутой ломаной, состоящей из четырех

звеньев – это четыре точки, три из которых, не лежащие на одной прямой, по аксиоме 1, задают единственную плоскость, а четвертая может этой плоскости не

принадлежать.

_6. Нет. Т.к. по аксиоме 3, если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой расположены все общие точки этих плоскостей.

8.

    m

FM   , FM  m  M

EF   M

1. Некоторые следствия из аксиом

• Конспект (видеолекция)

В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Признаки равенства и подобия

треугольников, известные из курса планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях.

• Теорема 1

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: a  прямая, M  a .

Доказать: Существует плоскость  такая,

что a  и M  и

 - единственная.

Док-во:

1. P a, Q a , M  a . Значит, P,Q, M - не

лежат на одной прямой. По аксиоме 1, существует некая плоскость  .

P a, Q a , то по аксиоме 2, a  .

1. Плоскость  , проходящая через прямую

a и точку M , совпадает с плоскостью,

проходящей через точки P,Q, M и она

единственная по аксиоме 1.

Ч.т.д.

• Теорема 2

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: a  b  M .

Доказать: Существует плоскость  такая,

что a  и b  и

 - единственная.

Доказательство:

1. N b, N a , следовательно, через прямую a и точку N , не лежащую на

ней, проходит плоскость  (теорема 1).

1. M b, N b , значит, по аксиоме 2,

MN  b  .

Итак, a  и b  .

1. Любая плоскость, проходящая через прямые a и b , проходит через точку

N . Она единственная и совпадает с  . Т.к. по теореме 1 через прямую и точку, не лежащую на ней проходит только одна плоскость.

Ч.т.д.

Дано: A, B,C, D  одной плоскости.

а) Могут ли какие-то три из них лежить на одной прямой?

Нет, т.к. через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести

плоскость и все точки будут принадлежать

плоскости. А по условию A, B,C, D  одной плоскости.

б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

Нет, т.к. две пересекающиеся прямые задают плоскость по теореме 2 и все точки будут принадлежать плоскости. А по

условию A, B,C, D  одной плоскости.

Дано: a  b  M , c  a  A, c  b  B .

Доказать:

a, b, c  .

Доказательство:

1. a  b   (теорема 2).

a , c  a  A  A

b , c  b  B  B 

 AB  c 

(аксиома 2).

1. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M ?

Нет.

Дано: ABCD  параллелограмм,

A, B,O  .

Доказать: C , D  . Доказательство:

A  O  B  O 

 AO 

 BO 

C  AO  C 

D  BO  D 

Ч.т.д.

Задача №12

Дано:

Да.

A, B,C, D  одной плоскости.

^{ ABC} ^ ^ABD ^?

Дано: a,b, c  проходят через одну точку O . Через каждуе две из них проведена Плоскость.

Сколько всего проведено плоскостей?

а) Три, если прямые не лежат в одной плоскости;

б) Одна, если прямые лежат в одной плоскости.

• Дополнительные задачи. Аксиомы стереометрии и следствия из них

№ Задача

1. _{Укажите} плоскости которым принадлежит прямая

АВ.

1. _{Укажите} плоскости которым принадлежит точка

F.

1. _{Укажите} плоскости которым принадлежит точка

C.

1. _{Укажите} прямую пересечения плоскостей АВС и

ACD.

1. _{Укажите} прямую пересечения плоскостей АВD и

Задача

DCF.

1. _{Принадлежит} ли точка F плоскости  ? Ответ обоснуйте.

Даны точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости.

Точка М лежит вне плоскости  , а точки А, В и С

принадлежат этой плоскости.

1. Плоскости  и  пересекаются по прямой а.

Может ли точка С принадлежать плоскостям  и

 . Ответ обоснуйте.

1. Точка D лежит вне плоскости АВС. Пересекаются ли прямые DE и ВС?

1. Плоскости  и  пересекаются по прямой а. Точки А и В принадлежат плоскости  , а точка С – плоскости  . Постройте прямые пересечения

плоскости АВС с плоскостями  и  .

• № Задача

  
  Решение (Дополнительные задачи). Аксиомы стереометрии и следствия из них

1. _{АВС, АВD} Даны точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости.

1. АВС, BCD

1. _АВС, ВСD, ADC

1. _АС

1. _ВD

Задача

1. _Нет, т.к. F  MB и MB   B . ^{Точка М лежит вне плоскости  , а точки А, В и С}

принадлежат этой плоскости.

1. Точки А и В – общие точки плоскостей  и АВМ, значит по аксиоме 3 эти две плоскости

пересекаются по прямой АВ.

1. _ВМ

1. _Да, если она совпадет с точкой А.

1. Нет, т.к. прямая АС пересекает плоскость МВС в точке С.

1. Да, если точка С будет принадлежать прямой пересечения плоскостей  и  , т.е. прямой а.

1. _Нет.

1.     m

m    M

1. ^    a

AB  a  D

CD  AB  ABC ABC    AB ABC    CD

• Тест 3. Некоторые следствия из аксиом Вариант 1

1. ^Туго натянутая нить последовательно закреплена в точках G, L, K, H и R, расположенных на стержнях

SA, SB и SC, которые не принадлежат одной плоскости. Отметьте и обозначьте точки, в которых отрезки соприкасаются.

1. _В чем ошибка чертежа? Внесите изменения в чертеж таким образом, чтобы он стал верным.

1. _На рисунке изображены пересекающиеся плоскости  и  . Точки А и В принадлежат плоскости  , а точка С лежит в плоскости  . Изобразите точку D, принадлежащую плоскости  , так, чтобы отрезки

AD и ВС оказались пересекающимися.

1. В трапеции ABCD (AD и BC – основания) АВ пересекает CD в точке М. Е – середина AD. O  BC . Точка К

расположена вне плоскости трапеции. При каком условии точки К, М, О и Е лежат в одной плоскости?

• Тест 3. Некоторые следствия из аксиом Вариант 2

1. Туго натянутая нить последовательно закреплена в точках G, L, K, H и R, расположенных на стержнях

SA, SB и SC, которые не принадлежат одной плоскости. Отметьте и обозначьте точки, в которых отрезки соприкасаются.

1. _В чем ошибка чертежа? Внесите изменения в чертеж таким образом, чтобы он стал верным.

1. ^На рисунке изображены пересекающиеся плоскости  и  . Точки С и D принадлежат плоскости  , а точка B лежит в плоскости  . Изобразите точку A, принадлежащую плоскости  , так, чтобы

отрезки AC и ВD оказались пересекающимися.

1. _{В треугольнике} ABC медианы, проведенные к сторонам ВС и АВ, пересекаются в точке О. E  AC . Точка D лежит вне плоскости АВС. При каком условии можно провести плоскость через точки D, B, O и Е ?

• Решение (Тест 3). Некоторые следствия из аксиом Вариант 1 1.

^{SA  SC  } ^ASC  ^{G, H , L, R } ^ASC  ^ GL  HR  D

(есть видео подсказка)

Все пересекающиеся прямые задают плоскость (АОВ).

^2.

^{ } ^AOB ^{ AB ,}

значит, все общие точки этих плоскостей лежат на этой прямой.

Тогда C  AB .

3.

    m

AB , AB    M , M  m CM   , CM    M

^{AB  CM  } ^AMC 

D  CM

^{A, B,C, D } ^AMC  ^{ AD  BC}

4.

По теореме 1 через прямую МЕ и точку К, не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость. Точка О будет лежать в этой же плоскости, если O  ME ,

т.е. при условии, что BO  OC . (Есть видео подсказка)

• Решение (Тест 3). Некоторые следствия из аксиом Вариант 2

1.

^{SA  SC  } ^ASC  ^{G, H , L, R } ^ASC  ^ GL  HR  D

(есть видео подсказка)

2.

Все пересекающиеся прямые задают плоскость (АВС).

^{ } ^ABC ^{ AC , значит, все общие}

точки этих плоскостей лежат на этой прямой.

Тогда P  AC .

3.

    m

CD   , CD    M , M  m BM , BM    M

^{BM  CD  }^BMC 

A  BM

^{A, B,C, D }^BMC  ^{ AC  BD}

4.

По теореме 1 через прямую ВО и точку D, не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость. Точка E будет лежать в этой же плоскости, если E  BO , т.е. при условии, что AE  EC . (Есть видео подсказка)

1. Обобщение по теме

«Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них»

ГЕОМЕТРИЯ

Планиметрия

раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости.

Стереометрия

раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве.

• Аксиома 1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

• Аксиома 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

• Аксиома 3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

• Теорема 1

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

• Теорема 2

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

• Тест 4 Обобщение по теме: Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них

Вариант 1

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a . Точка К принадлежит ребру AA₁ , точка L - ребру

DD₁ . При этом A₁K : KA 1: 3, D₁L : LD  2 :1 . Проведена прямая KL . Используя рисунок,

ответьте на следующие вопросы.

№ Задание:

1. _{Укажите} точку пересечения прямой KL и плоскости ABD.

1. _{Найдите} точку пересечения прямых KL и A₁D₁ .

1. ^{Укажите линию пересечения плоскостей}

A₁ AD и

B₁EF .

1. ^{Найдите длину отрезка C1L .}

1. _{Вычислите} длину отрезка KL .

1. _{Найдите} длину отрезка EF .

• Тест 4. Обобщение по теме: Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них

Вариант 2

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a . Точка К принадлежит ребру AB , точка L - ребру CD .

При этом

AK : KB 1: 3, CL : LD 1: 4 . Проведена прямая KL . Используя рисунок, ответьте на

следующие вопросы.

№ Задание:

1. ^{Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости A1D1D .}

1. _{Найдите} точку пересечения прямых KL и ВС.

1. ^{Укажите линию пересечения плоскостей ABC и B1EF .}

1. ^{Найдите длину отрезка B1K .}

1. _{Вычислите} длину отрезка KL .

1. _{Найдите} длину отрезка EF .

• Решение (Тест 4). Обобщение по теме: Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них.

Вариант 1

_1. Укажите точку пересечения прямой KL и

плоскости ABD.

KL  ABD  F , т.к.

KL  ADD₁

ADD₁  ABD  AD KL  AD  F

^2. Найдите точку пересечения прямых KL и

ВС.

KL  A₁D₁  E , т.к.

^{KL; A1D1}^{ ADD1}

^3. Укажите линию пересечения плоскостей

A₁AD и B₁EF .

A₁ AD  B₁EF  KL

Найдите длину отрезка C₁L .

4.

LD₁C₁  прямоугольный,

D L  ² a .

D₁C₁  a ,

_{1 3}

C₁L 

 

3

_5. Вычислите длину отрезка KL .

Проведем

K₁L || AD ,

K₁K  a .

^A K  ^a , DL  AK  ^a

_{1 4} 1 ₃

KK₁  AA₁  AK₁  A₁K 

 a  ^a  ^a  ^5a

3 4 12



_ 13a 12

_{KL } 13a

12

_6. Найдите длину отрезка EF .

1. Проведем пересечения с

EE₁ || AA₁ EE₁ .

и продлим AD до

1. Рассмотрим подобные треугольники LDF

и KAF .

a

DF _ DL _, x _{ 3}

^, x  ^4a , DF  ^4a

AF AK a  x

^3a 5 5

4



13a



15

1. Рассмотрим подобные треугольники

EE₁F и LDF .

13a a

LF _ LD _,

¹⁵  ³ , EF  ^13a

EF EE₁

EF a 5

• Решение (Тест 4). Обобщение по теме: Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них

Вариант 2

_1. Укажите точку пересечения прямой KL и

плоскости A₁D₁D .

KL  A₁D₁D  E , т.к.

KL  ADC

ADC  A₁D₁D  AD KL  AD  E

^2. Найдите точку пересечения прямых KL и

BC.

KL  BC  F , т.к.

^{KL; BC}^{ ABC}

^3. Укажите линию пересечения плоскостей

ABC и

B₁EF .

ABC  B₁EF  KL

Найдите длину отрезка

4.

B₁K .

KBB₁  прямоугольный,

BK  ³ a .

4

DD₁  a ,

5a

B₁K 

 

4

_5. Вычислите длину отрезка KL .

Проведем

AL₁ || KL ,

^DL  ^4a , LL  AK  ^a

5 ¹ 4

DL  DL  LL

_ 4a _ a _ 11a _.

^{1 1} 5 4 20

^KL  ^a





20

521

20

_6. Найдите длину отрезка EF .

1. Проведем пересечения с

FF₁ || CD и продлим AD до

FF₁ .

1. Рассмотрим подобные треугольники EKA

и ELD .

_{EA } AK _,

a

x _{ 4}

, x  ^5a , EA  ^5a

ED DL a  x

4a

5

_ 521a 44

11 11



1. Рассмотрим подобные треугольники EKA

и EFF₁ .

521a a

EK _

KA _,

⁴⁴  ⁴ , EF 

521a

EF FF₁

EF a 4

• Тест 5. Обобщение по теме: Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них

Вариант 1

В пирамиде SABC все ребра равны a . На ребре АС выбрана точка К, на ребре ВС - точка L . При

этом AK : KC 1: 2, CL : LB 1: 4 . Через точки K, L, S проведена плоскость. Используя рисунок,

ответьте на следующие вопросы.

№ Задание:

1. _{Укажите} линию пересечения плоскостей SKL и SAB.

1. _{Найдите} линию пересечения плоскостей SEL и SBC.

1. _{Укажите} точку пересечения плоскостей АВС, SAC и SBC.

1. _{Вычислите} площадь треугольника BSL.

1. _{Вычислите} длину отрезка AE.

1. _{Найдите} длину отрезка LE.

   • Тест 5. Обобщение по теме: Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них

Вариант 2

В пирамиде SABC все ребра равны a . На ребре АС выбрана точка К, на ребре ВС - точка L . При

этом AK : KC  2:1, CL : LB  3:1. Через точки K, L, S проведена плоскость. Используя рисунок,

ответьте на следующие вопросы.

№ Задание:

1. _{Укажите} линию пересечения плоскостей SKL и SAB.

1. _{Найдите} линию пересечения плоскостей SKL и SAC.

1. _{Укажите} точку пересечения плоскостей SАВ, ABC и SAC.

1. _{Вычислите} площадь треугольника SLC.

1. _{Вычислите} длину отрезка BE.

1. _{Найдите} длину отрезка KE.

• Решение (Тест 5). Обобщение по теме: Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них

Вариант 1

1. Укажите линию пересечения плоскостей SKL

и SAB.

SKL  SAB  SE

1. _{Найдите} линию пересечения плоскостей SEL

и SBC.

SEL  SBC  SL

1. _{Укажите} точку пересечения плоскостей АВС, SAC и SBC.

Все плоскости пересекаются в точке С.

1. _{Вычислите} площадь треугольника BSL.

равносторонний

B  60 , BL  ^4a , BS  a



5

^SBSL

 ¹ BL  BS  sin 60 2

 ¹ a  ⁴ a  ³  ³ a²

2 5 2 5

1. Вычислите длину отрезка AE.

Рассмотрим

. Проведем

ML || AB ,

MCL  равносторонний.

CL  ^a , ML  CM  ^a

5 5

KM  KC  CM  ^2a  ^a  ^7a

3 5 15

EAK LMK

a 7a

_{ML } KM _,

⁵  ¹⁵ , EA  ^a

EA AK EA ^a 7

3

1. Найдите длину отрезка LE.

См. рис. к задаче №5.

Рассмотрим EBL :

LB  ^4a , BE  EA  AB  ^a  a  ^8a , B  60 .

5 7 7

По теореме косинусов:

EL 

EL 

_ 4 79a

35

• Решение (Тест 5). Обобщение по теме: Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них

Вариант 2

1. Укажите линию пересечения

плоскостей SKL и SAB.

SKL  SAB  SE

1. _{Найдите} линию пересечения

плоскостей SKL и SAC.

SKL  SAC  SK

1. _{Укажите} точку пересечения плоскостей SАВ, ABC и SAC.

Все плоскости пересекаются в точке А.

1. _{Вычислите} площадь треугольника

SLC.

равносторонний

, LC

C  60

 ^3a , SC  a



4

^SSLC

 ¹ CL  CS  sin 60 2

 ¹ a  ³ a 

3 _ 3 3 _a2

2 4 2 16

1. Вычислите длину отрезка BE.

Рассмотрим ABC . Проведем

MK || AB , MCK  равносторонний.

CM  ^a , MK  CK  ^a

3 3

LM  LC  CM  ^3a  ^a  ^5a

4 3 12

1. _{Найдите} длину отрезка LE.

См. рис. к задаче №5.

_{ML } KM _,

LB BE

5a 12 _

a

4

a

³ , BE  ^a BE 5

Рассмотрим AKE :

AK  ^2a , AE  BE  AB  ^a  a  ^6a , B  60 .

3 5 5

По теореме косинусов:

KE 

EL 

_ 2 61a

15