Тема 3. Степень с рациональным показателем

Корень n-ой степени и его свойства

Степень

Степенью называется выражение вида , где a — основание степени; c — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. По определению:  .

2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: .

3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:  .

Возвести число в натуральную степень   — значит умножить число само на себя n раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

Возведение в нулевую степень:

Если показателем степени является целое отрицательное число:

Примечание: выражение   не определено, в случае  . Если 

Степень с рациональным показателем

Если

Пример.

Свойства степеней

1. ;

2. ;

1. ;

2. ;

3. 

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение   имеет два решения . Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции  и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данном случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень   — это неотрицательное число, квадрат которого равен  .

При  — выражение   не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу  .

Корень из квадрата

Например,   .

А решения уравнения  соответственно 

Кубический корень

Кубический корень из числа   — это число, куб которого равен  . Кубический корень определен для всех  . Его можно извлечь из любого числа: .

Корень n-ой степени

Корень n-й степени из числа  – это число, n-я степень которого равна  .

Если n – чётно, тогда,

если  , то корень n-ой степени из a не определен.

если  , то неотрицательный корень уравнения   называется арифметическим корнем n-й степени из a и обозначается 

Если n – нечётно, тогда уравнение     имеет единственный корень при любом  .

Пример.

Арифметическим корнем n-й степени из числа а называют неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Обозначается арифметический корень n-й степени из числа а

где n – показатель корня, а – подкоренное выражение.

Знак называют еще радикалом.

Арифметический корень второй степени называется корнем квадратным и обозначается .

Арифметический корень третьей степени называется кубическим корнем обозначается

Пример.

Из определения арифметического корня n-й степени следует, что при четном n подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а значит и значение такого корня тоже неотрицательно.

Пример.

Арифметический корень 4-й степени из числа -81 не существует, так как ни одно число в четвертой степени не даст -81 (при возведении в четную степень значение выражения всегда неотрицательно), т.е. извлечь нельзя.

При нечетном показателе корня подкоренное выражение может быть отрицательным, и тогда минус может быть вынесен за знак коня.

Пример.

Тождества с корнями, содержащие переменную

Пусть n – нечетное число. Тогда при любом значении а верны равенства:

1. ;

2. .

Пусть n – четное число. Тогда при любом значении а верно равенство:

Пусть n и k – натуральные числа. Тогда при любом неотрицательном значении а верны равенства:

1. ;

2. .

Пусть k – целое число. Тогда при любом положительном значении а верно равенство: .

Свойство корней

Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b выполнены равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

Таблица корней

Самостоятельная работа по теме «Корень n-ой степени и его свойства»

Критерии оценки:

Правильно выполненные 4 задания – “6”

Правильно выполненные 6 заданий – “8”

Правильно выполненные 7 заданий – “10”

Таблица степеней до 10

Примеры решения упражнений

№1. Вычислить:

а) ; б) ; в) г)

Решение:

а) =- ;

б) =2;

в) = ;

г)

№2. Решить уравнение:

а) х⁶=5; б) х³=5; в) 0,01х³+10=0.

Решение:

а) х⁶=5;

так как 6- четное число, то уравнение имеет два корня

Ответ: .

б) х³=5; так как 3-нечетное число, то уравнение имеет один корень.

.

Ответ:

в) 0,01х³+10=0;

0,01х³=-10;

х³= ;

х³= ;

х³=-10

х³=-1000;

х=

х=-

х= -10.

Ответ :-10.

№3. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; в) .

Решение:

а) =

б)

в)

г)

№4. Упростите выражение:

а) ; б) если х0;

в) если к0 ; г) : .

Решение:

а) =

так как 3- нечетное число, получим а²вс⁴.

Ответ: а²вс⁴.

б) =

Так как 4-нечетное число, то получим

Так как х0 по условию, то

у⁴≥0 (так как 4-четное число), следовательно ,

аналогично рассуждая, получим .

Итого получим:

Ответ:

в) = = ;

так как к0, то к⁶0, следовательно .

Итого получим:

.

Ответ: .

г) : =

№5. Упростить:

1)   2)   3) 

Решение

1)   
2)   
3) 

Ответ. 1)   2)   3) 

№6. Упростите выражения

1)   2)   3) 

Решение

1)   
2)   
3) 

Ответ. 1)   2)   3) 

Задания для самостоятельного решения

№1. Вычислить:

а) б) ; в) ; г) .

№2. Решите уравнение:

а) х³=64; б)х⁴- 81=0; в) 16х⁴-1=0; г)12 .

№3. Вычислить:

а) б) ; в) г)

№4. Упростите выражение:

а) б) ; в) ; г)

д) : е)

№5. Вынесите множитель из-под знака корня.

а) б)

Степень с рациональным показателем

Рациональные числа

Рациональные числа - это целые и дробные числа (обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби).

Есть версия, что название рациональных чисел связано с латинским словом «ratio» - разум.

Бесконечные непериодические дроби не входят в множество рациональных чисел.

Поэтому число «Пи» (π = 3,14...), число e (e = 2,718..) или  не являются рациональными числами.

Примеры рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначается заглавной английской буквой Q (кью).

Множество Q включает в себя множество целых чисел (Z) и натуральных чисел (N).

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель - натуральным. 

, где m ∈ Z (m принадлежит целым числам), n ∈ N (n принадлежит натуральным числам):

Степень с рациональным показателем

Мы знаем, какой смысл имеет выражение, где aⁿ, если показатель n — целое число.

Например, (–3)⁵ означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен –3.

Число 2^–6 означает число, обратное степени 2⁶.

Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.

Из определения арифметического корня следует, что

если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a 0 верно равенство  .

Например,  , так как .

Если принять, что равенство   имеет место и в том случае, когда    - дробное число, то все свойства, верные для целого показателя степени, будут выполняться и для дробного показателя с положительным основанием.

Определение. Если a 0,   – дробное число (m – целое, n – натуральное), то

 По определению имеем: ; .

Степень с положительным основанием

Определение. Пусть k – целое число, n – натуральное число, не равное 1. Степенью положительного числа а с рациональным показателем (обозначается ) называется положительный корень n-ой степени из числа .

Таким образом,

Степень с основанием, равным нулю

Степень с основанием, равным нулю, определяется только для положительного дробного показателя:

Определение:

Если   – дробное положительное число (m и n – натуральные), то  .

Степень с отрицательным основанием

Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как  не имеют смысла.

Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: и т.д.

Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: как бы оно ни записывалось, результат будет один и тот же.

Например:

В общем случае для а 0, m — целого и натуральных n и k получим:

Свойства степени с рациональным показателем. Действия со степенями с рациональным показателем

Для положительных оснований все действия со степенями с рациональными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с целым показателями.

Для любых положительных значений a и b при любых рациональных n и m верны равенства:

Для любых положительных значений a и b при любом рациональном n верны равенства:

Для любого положительного значения a при любом натуральном m верно равенство:

Для любого положительного значения a при любом натуральном и целом n верно равенство:

Расположение точек на числовой оси позволяет наглядно сравнивать между собой числа.

Напомним, что если координатная прямая изображена горизонтально, то положительные числа изображаются точками правее 0, а отрицательные - левее 0. В этом случае, если положительные числа отметить точками на этой прямой, то большему из двух чисел будет соответствовать точка, расположенная на числовой оси правее, а меньшему - точка, расположенная на координатной прямой левее.

Из двух чисел на координатной прямой больше то, которое расположено правее, а меньше то, которое расположено левее.

Это означает, что при сравнении рациональных чисел:

• любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа;

• любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа.

Пример.

Сравнивать рациональные числа удобно с помощью понятия модуля.

Большее из двух положительных чисел изображается точкой, расположенной на координатной прямой правее, то есть дальше от начала отсчёта. Значит, это число имеет больший модуль.

Из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше.

При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Пример. Сравнить числа -6 и -12.

Точка, соответствующая числу -6 расположена ближе к началу отсчёта, чем точка, соответствующая числу -12.

|-6| -12.

Сравнение степеней с рациональным показателем зависит от основания степени а.

Пусть . Тогда

1. если n – положительное рациональное число, то

2. если n и m – рациональные числа и , то

Пусть . Тогда

1. если n – положительное рациональное число, то

2. если n и m – рациональные числа и , то

Степенная функция

Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями  и т. д.

Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции  , где r - заданное действительное число.

Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и r имеет смысл степень  .

Функция вида называется степенной функции.

Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени r.

1. Показатель   – четное натуральное число.

В этом случае степенная функция  , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения – все действительные числа, т. е. ;

• множество значений – неотрицательные числа, т. е. ;

• функция    четная, так как  ;

• функция является убывающей на промежутке   и возрастающей на промежутке .

Г рафик функции  имеет такой же вид, как например график функции 

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция четная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: единственный нуль x = 0.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для x = 0, оно равно 0.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

8. График функции (для каждого n  N) «похож» на график квадратичной параболы (графики функций изображены на рисунке).

1. Показатель   – нечетное натуральное число.

В этом случае степенная функция  , где n натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, ;

• множество значений - множество R, ;

• функция  нечетная, так как ;

• функция является возрастающей на всей действительной оси.

Г рафик функции  имеет такой же вид, как, например, график функции 

Степенная функция

Это обратная функция для

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. График функции симметричен графику кубической параболы относительно прямой y = x и изображен на рис. 1.

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. График функции (для каждого ) «похож» на график кубической параболы (графики функций изображены на рис. 3).

1. Показатель  , где n – натуральное число

В этом случае степенная функция  , где n натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0, ;

• множество значений - положительные числа y0, E ;

• функция   четная, так как  ;

• функция является возрастающей на промежутке и убывающей на промежутке .

Г рафик функции  имеет такой же вид, как, например, график функции  .

1. Показатель  , где n – натуральное число

В этом случае степенная функция  , где n натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0, ;

• множество значений - положительные числа y0, E ;

• функция   нечетная, так как  ;

• функция является убывающей на промежутках .

Г рафик функции   имеет такой же вид, как, например, график функции  .

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.

8. Асимптоты: (ось Оу) – вертикальная асимптота;

(ось Ох) – горизонтальная асимптота.

1. График функции (для любого n) «похож» на график гиперболы (графики функций изображены на рисунке).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция четная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

6. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на и убывающей на

7. Асимптоты: x = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота;

y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.

1. Графиками функций являются квадратичные гиперболы (рисунок).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, функция принимает в точке x = 0; наибольшего значения не имеет.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для функции при условии

9. График функции «похож» на график функции при любом n и изображен на рисунке.

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. График функции изображен на рисунке.

Показатель r – положительное действительное нецелое число

Показатель r – отрицательное действительное нецелое число

Пример 1. Построить график функции:

1)

2)

Решение.

1) Для построения графика данной функции используем правила преобразования графиков:

1. с троим график функции ;

2. график функции получаем из графика функции путем параллельного переноса его на одну единицу вправо по оси Ох и на две единицы вниз по оси Оу;

3. график исходной функции получаем из графика функции оставляем ту часть графика, которая находится справа от оси Оу и на оси Оу, другую – отбрасываем (на рис. 8 она показана пунктиром). Оставшуюся часть графика дополняем симметричной ей относительно оси Оу (рисунок).

2) Преобразуем функцию к виду Заметим, что График этой функции получаем путем следующих преобразований:

1. строим график функции

2. график получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Оу;

3. график функции получаем из предыдущего смещением на 4 единицы вправо по оси Ох;

4. график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом его на две единицы вниз по оси Оу (рис.).

Задания

I уровень

1.1. Определите, принадлежит ли точка графику функции

1) 2)

3) 4)

1.2. Найдите область определения функции:

1) 2) 3)

1.3. Постройте график функции и определите область ее значений:

1) 2) 3) 4)

II уровень

2.1. Найдите область определения функции:

1) 2) 3)

4) 5)

2.2. Постройте график функции:

1) 2)

III уровень

3.1. Найдите область определения функции:

1) 2)

3.2. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обеих функций. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

1) 2)

3.3. Найдите множество значений функции:

1) 2)

Решение иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Существует несколько подходов в решению иррациональных уравнений. Рассмотрим наиболее распространенные:

1. замена исходного уравнения равносильным ему уравнением (системой или совокупностью уравнений и неравенств);

2. замена исходного уравнения его следствием.

Способ 1. Замена исходного уравнения равносильным ему уравнением (системой или совокупностью уравнений и неравенств)

Поскольку все равносильные уравнения имеют одни и те же решения, то при этом подходе проверка полученных значений переменной по условию исходного уравнения не является необходимой частью решения.

При решении иррациональных уравнений часто пользуются следующими утверждениями о равносильности:

Способ 2. Замена исходного уравнения его следствием.

Поскольку решений в уравнении-следствии (системе, совокупности) может быть больше, чем в исходном уравнении, то необходимо выполнить проверку полученных значений переменной по условию исходного уравнения.

Переход к следствию из данного уравнения при оформлении записи решения можно обозначать символом

Пример 1. Решить уравнение . 

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.

Проверка.

При x₁ = -2     - истинно.

При x₂ = 2     - истинно.

Отсюда  следует, что исходное иррациональное уравнение   имеет два  корня -2 и 2.

Ответ: -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение  .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x - 9  0;

x   9;

б) 1 - x   0;

-x  -1 ;

x   1.

ОДЗ данного ураdнения: x  .

Ответ: корней нет.

Пример 3. 

Решить уравнение

Решение.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:

Произведя проверку устанавливаем, что x₂=0  лишний корень.
Ответ: x=1.

Пример 4. Решить уравнение x =  .

Решение.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x [-1;  ).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x²= x + 1. Корни этого уравнения:

x₁ = 

x₂ = 

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 1   0 и x  0 и x² = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Ответ: 

Пример 5 . Решить уравнение   +   = 7.

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним  приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение 
    = 12,  (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 - х) = 144,  являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x² - 15x + 44 =0. 

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x₁ = 4, х₂= 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: х₁ = 4, х₂= 11.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения  •  = 12, пишут уравнение    = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения  являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение   -   = 3.

Решение.

Уединив первый радикал, получаем уравнение
 =   + 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x² + 5x + 2 = x² - 3x + 3 + 6 ,

равносильное уравнению

4x - 5 = 3  (*).

Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения  в квадрат, приходим к уравнению
16x² - 40x + 25 = 9(x² - 3х + 3), или

7x² - 13x - 2 = 0.

 Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x₁ = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x₂ =    - не удовлетворяет.

Ответ: x = 2.

Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громоздкие преобразования.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 7. Решить уравнение 2x² - 6x +    + 2 = 0.

Решение.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y =  , где y   0, тогда получим уравнение 2y² + y - 10 = 0; y₁ = 2; y₂ = -  .

Второй корень не удовлетворяет условию y   0.

Возвращаемся к x:

 = 2;

x² - 3x + 6 = 4; 

x² -3x + 2 = 0; 

x₁ = 1; x₂ = 2.

Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями исходного уравнения.
Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2.

Пример 8. Решить уравнение   +   = 

Решение.

Положим   = t, Тогда уравнение примет вид t +   =    откуда получаем следствие: 2t² - 5t + 2 = 0.

Решая это квадратное уравнение, находим два корня:  t₁ = 2 t₂ =   .

Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:
 = 2, (*)   =   (**)

Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 - 2x = 8x - 8; x₁ = 2.

Аналогично, решив (**), находим x₂ =  .

Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)]    [fⁿ(x) = gⁿ(x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

Ответ: х₁ = 2, x₂ =  .

Пример. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

Приводим подобные. При этом в левой части уравнения записываем корень, остальные слагаемые – в правой части:

Возводим полученное уравнение в квадрат еще раз:

Решая последнее квадратное уравнение, находим корни которые теперь необходимо проверить. Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Первый корень не подходит.

Приходим к ответу:

Пример. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в куб:

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим выражение выражением Получаем:

Решаем совокупность уравнений

В результате замены выражения могут появиться посторонние корни, так как такое преобразование не является равносильным. Поэтому необходимо произвести проверку. Подставляем найденные значения и убеждаемся, что они являются корнями исходного уравнения.

Приходим к ответу:

Пример. Решить уравнение

Решение. Возведение уравнения в квадрат приводит к уравнению четвертой степени и громоздкому решению.

Нетрудно заметить, что в данном уравнении можно произвести замену. Но перед этим преобразуем уравнение следующим образом:

Заменив получаем квадратное уравнение

Решая его, находим корни

Возвращаемся к исходной неизвестной:

Первое уравнение решений не имеет, так как его левая часть неотрицательна, а правая – отрицательна. Второе уравнение возводим в квадрат. Получаем:

т. е.

Его корни С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят, т. е. приходим к ответу:

Пример. Решить уравнение

Решение.

1-й способ. Перенесем второй корень вправо:

Возводим обе части в квадрат:

Еще раз возводим в квадрат и получаем квадратное уравнение, решая которое и получаем корни Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Оба корня подходят.

2-й способ. Введем замену тогда Таким образом получили более простое уравнение

т. е.

Возведем его в квадрат:

Возвращаемся к исходной неизвестной:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

откуда

При помощи проверки убеждаемся, что оба корня подходят.

3-й способ. Домножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим:

Сложим последнее уравнение с исходным. Получим:

т. е.

Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение

Решая его, находим корни

Приходим к ответу:

Пример. Решить уравнение

Решение. Пусть Тогда и по условию.

Получили систему

Решаем ее методом подстановки:

Второе уравнение решим отдельно

Получаем корни:

Возвращаемся к системе:

Получаем:

Переходим к заданным неизвестным:

Решая последнюю совокупность, находим корни и С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят.

Получили ответ:

При решении иррациональных уравнений, как правило, нахождение ОДЗ является бесполезным, так как проверка решений по ОДЗ недостаточна. Но существует ряд примеров, в которых нахождение ОДЗ является тем методом, который приводит к успеху. Покажем это на следующем примере.

Пример. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:

Решаем последнюю систему неравенств графически (рис. 10).

Рис. 10

Получили, что ОДЗ состоит из единственной точки

Остается подставить значение в уравнение и выяснить, является ли оно решением:

Получили, что – решение.

Пример. Решить уравнение

Решение. Используем графический способ. Строим графики функций (рис.11).

Рис. 11

Из рисунка видно, что графики пересекаются в единственной точке x = 7. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверяем x = 7 подстановкой в заданное уравнение и убеждаемся, что это точное значение решения уравнения.

Получили ответ: x = 7.

Задания

I уровень

1.1. Определите, имеет ли уравнение корни:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10)

1.2. Решите уравнение:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20)

21) 22)

1.3. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

1.4. Решите уравнение графически:

1) 2)

3) 4)

II уровень

2.1. Решите уравнение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

3.2. Решите уравнение:

1) 2)

Иррациональные неравенства

Неравенство вида

Достаточно часто при решении иррациональных неравенств после преобразований получают неравенство вида .

 В этом случае обе части неравенства положительны и их можно возводить в квадрат. Возведение обеих частей в квадрат в общем случае позволяет получить неравенство, которое является следствием данного. Чтобы отсеять посторонние решения находят ОДЗ исходного (данного) неравенства и находят пересечение этих множеств.

Пример. Решить иррациональное неравенство

Решение.

1) Найдем ОДЗ:

(1)

2) Возведем обе части неравенства в квадрат:

(2)

3) Найдем пресечение множеств (1) и (2), это будет множество

Ответ:

Можно поступить иначе, сразу заменить исходное неравенство системой неравенств и решать полученную систему неравенств:

Заметим, что и , значит в силу транзитивного свойства неравенств, всюду, где выполняются указанные неравенства, и поэтому систему можно заменить другой системой

Такая замена существенно упрощает решение иррационального уравнения.

Пример. Решить неравенство .

Решим первое неравенство

Квадратный трехчлен имеет положительный старший коэффициент и отрицательный дискриминант, следовательно, он принимает только положительные значение, а это значит, что неравенство решений не имеет.

Решим второе неравенство

Решение системы есть пустое множество.

Ответ: решений нет.

Пример. Решить неравенство  

Решение.

Составим систему неравенств

Так как первое неравенство является следствием второго и третьего неравенств, его можно опустить.

У квадратного трехчлена a = 1 и D = -39, следовательно, он принимает положительные значения на всей области определения.

Ответ: .

Неравенство вида

ОДЗ данного неравенства:

Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему

Заметим, что из неравенства следует, что , то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: .

А та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде .

Следовательно, в ОДЗ

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥.

Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности   совпадает со знаком выражения 

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

Пример. Решите неравенство

Решение:

Перейдём к равносильной системе: 

Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем

Ответ:

Пример. Решите неравенство .

Решение:

ОДЗ данного неравенства:  .

Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует  и значит, 

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни.

Кроме того, мы вынесли за скобку  который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x = 5.

При x = 6 корень   обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства.

Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем: 

Учтём теперь ОДЗ и получим: .

Ответ: .

Неравенство вида

Теперь рассмотрим уравнения вида . Поскольку левая часть неравенства может принимать как положительные так и отрицательные значения, то возводить без определенных условий обе части в квадрат нельзя. Мы должны рассмотреть два случая: g(x) 0, то есть неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств.

Так как g(x) 0, то (g(x))²  0 и, в силу транзитивного свойства неравенств, во второй системе первое неравенство можно опустить.

Пример. Решить неравенство   

Решение данного неравенства сведется к решению совокупности двух систем

Решим первую систему

Решим вторую систему

У квадратного трехчлена   a = 1, D = 1 + 8 = 16 0, x₁ = -2, x₂ = 1. Тогда решением неравенства является промежуток Получим систему

Решение второй системы

Объединив два полученных множества, получим множество являющееся решением иррационального уравнения

Ответ: .

Неравенство вида

Неравенства вида   .

Из определения квадратного корня следует, что , поэтому . Тогда

Неравенство в этой системе  опустить в общем случае нельзя.

Пример. Решить неравенство .

Решение:

Решим в отдельности каждое неравенство.

Решим первое неравенство

Решим второе неравенство

Решим третье неравенство

Объединим все три решения

Ответ:

Неравенство вида

Неравенство вида  . Чтобы избавиться от иррациональности в таких неравенствах приходится несколько раз возводить в квадрат обе части неравенства, при этом мы должны учитывать, что возводить в квадрат обе части неравенства можно в тех случаях, когда обе части либо положительны либо отрицательны (в последнем случае необходимо менять знак неравенства). Нужно также учитывать, что при возведении в квадрат может произойти расширение ОДЗ, что приведет к появлению посторонних решений, их нужно отсеять.

Пример. Решить неравенство

Решение.

Найдем ОДЗ. Для этого нам необходимо решить систему неравенств:

Таким образом ОДЗ данного неравенства есть множество чисел принадлежащих промежутку [5; 10]

Перенесем второе слагаемое в левую часть неравенства

 тогда при любом значении переменной из ОДЗ обе части положительны. Возведем их в квадрат:

В данном конкретном случае можно, по моему мнению, отклонится от стандартной схемы и вот почему.

В правой части неравенства задана линейная функция , заданная на промежутке [5; 10]. Её угловой коэффициент k = -3, следовательно, она убывает и так как на концах промежутка она принимает соответственно значения t(5) = 0, t(10) = -15, то на указанном промежутке .

На этом же промежутке  и  (из определения квадратного корня), следовательно, на указанном промежутке неравенство верно при любом значении переменной из ОДЗ.

Ответ: [5; 10].

Неравенство вида

ОДЗ данного неравенства:

Предположим, что функции f (x) и g (x) не имеют общих корней.

Рассмотрим вспомогательное неравенство 

1. Если g (x) x из ОДЗ выполнено

 2. Если g (x) ≥ 0, то выражение   может иметь любой знак, но выражение   всегда строго положительно.

Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число   не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству 

Таким образом, в ОДЗ 

Значит, при g (x) ≥ 0, знак разности   совпадает со знаком разности   в ОДЗ.

Получаем следующие условия равносильности. 

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Пример. Решить неравенство

Решение.

Выполним равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для применения результатов настоящего пункта виду. 

Мы не случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь конкретно равняется функция g (x) = 2x – 8. Типичной ошибкой является считать, что g (x) = 2x + 8.

ОДЗ данного неравенства: ,  то есть

 Теперь перейдём к равносильной системе. В ОДЗ 

С учётом ОДЗ сразу получаем:

Ответ.