Тема: «Дисперсия числового набора»

Тема: «Дисперсия числового набора»

Продолжительность: 40 мин
Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления
Цель: сформировать понятие дисперсии как меры разброса данных, научить вычислять дисперсию двумя способами и интерпретировать её значение.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

• Приветствие.

• Проверка готовности класса.

Сегодня узнаем, как измерять разброс данных в наборе чисел — для этого существует специальная характеристика: дисперсия.

2. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)

Ситуация для обсуждения:

Два ученика, Аня и Боря, выполняли серию из 5 тестовых заданий. Их результаты (в баллах):

• Аня: 4, 5, 4, 5, 4

• Боря: 2, 6, 3, 7, 4

Вопросы классу:

• Чему равно среднее арифметическое у каждого?

• Можно ли сказать, что результаты одинаковы? Почему?

• Как охарактеризовать, насколько «разбросаны» результаты вокруг среднего?

Вывод: Нужно числовая характеристика, показывающая разброс значений — это дисперсия.

Актуализация:

• Что такое среднее арифметическое? Как вычислить?

• Что такое отклонение числа от среднего? Как найти?

Отклонение числа от среднего — это разность между данным числом и средним арифметическим всех чисел в наборе.

Оно показывает, насколько конкретное значение больше или меньше среднего уровня в выборке.

• Если число больше среднего, отклонение положительное.

• Если число меньше среднего, отклонение отрицательное.

• Если число равно среднему, отклонение равно нулю.

• Почему нельзя просто усреднить отклонения? (Их сумма всегда 0.)

3. Изучение нового материала (10 мин)

Определение:
Дисперсия S² числового набора — это среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического.

Формула 1 (через отклонения):

S²= ,

где x — среднее арифметическое, n — количество чисел.

Шаг за шагом:

1. Найти среднее x.

2. Для каждого числа вычислить отклонение x_j​− .

3. Возвести отклонения в квадрат.

4. Найти среднее арифметическое квадратов отклонений.

Формула 2 (рациональный способ):

S²= ,

где x² — среднее арифметическое квадратов чисел, (x)² — квадрат среднего арифметического.

Свойство:

• Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений вокруг среднего.

• Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс.

Пример на доске (используем результаты Ани и Бори):

1. Аня: 4, 5, 4, 5, 4

   • = = 4,4.

   • Отклонения: −0,4;0,6;−0,4;0,6;−0,4.

   • Квадраты отклонений: 0,16;0,36;0,16;0,36;0,16.

   • S ²= = ​ =0,24.

2. Боря: 2, 6, 3, 7, 4

   • = =4,4.

   • По формуле 2:

     • Квадраты чисел: 4,36,9,49,16.

     • x² = ​ = ​= 22,8.

     • (x)²=(4,4)²=19,36.

     • S²=22,8−19,36=3,44.

Вывод: У Ани дисперсия 0,24, у Бори — 3,44. Значит, результаты Ани стабильнее (меньше разброс).

4. Первичное закрепление (10 мин)

Задание 1 (у доски и в тетрадях). Дан набор: 3, 1, 4, 2, 5.

• Найдите среднее арифметическое.

• Вычислите дисперсию первым способом (через отклонения).

• Проверьте результат вторым способом (по формуле).

Задание 2 (работа в парах). Даны два набора:

• Набор А: 10, 10, 10, 10

• Набор Б: 8, 12, 9, 11

• Для каждого найдите среднее и дисперсию.

• Сравните дисперсии и объясните, что они показывают.

Обсуждение решений: учитель корректирует ошибки, акцентирует внимание на правильном порядке действий и интерпретации результата.

5. Практическое применение (8 мин)

Задача 1. В двух классах измерили рост учеников (в см):

• Класс 1: 160, 162, 158, 161, 159

• Класс 2: 150, 170, 155, 165, 160

• Для каждого класса найдите:

  • средний рост;

  • дисперсию роста.

• В каком классе рост учеников более однороден? Почему?

Задача 2. Дисперсия набора из 4 чисел равна 2,5. Среднее арифметическое — 6. Найдите среднее арифметическое квадратов этих чисел.
Обсуждение: «Где ещё может пригодиться дисперсия? (контроль качества, финансы, 

спорт, социология и т. д.)»

6. Рефлексия (3 мин)

Вопросы классу:

• Что такое дисперсия? Что она характеризует?

• Какие два способа вычисления дисперсии вы узнали?

• Как интерпретировать значение дисперсии?

• Какие ошибки можно допустить при расчёте?

Сегодня мы узнали, что дисперсия — это мера разброса данных вокруг среднего, научились её вычислять и сравнивать наборы по дисперсии».

7. Домашнее задание (2 мин)

Дан набор чисел: 5, 3, 7, 4, 6.

• Найдите среднее арифметическое.

• Вычислите дисперсию двумя способами.

• Запишите все шаги решения.