Теорема Пифагора

«Геометрия владеет

двумя сокровищами:

одно из них – это

теорема Пифагора»

Иоганн Кеплер

Авторы: Авдеева Дария, Хабибуллина амина. Средняя школа № 83, 8 Б класс.

Теорема

Пифагора

О теореме Пифагора

    Пребудет вечной истина, как скоро    Все познает слабый человек!    И ныне теорема Пифагора    Верна, как и в его далекий век.    Обильно было жертвоприношенье    Богам от Пифагора. Сто быков    Он отдал на закланье и сожженье    За света луч, пришедший с облаков.    Поэтому всегда с тех самых пор,    Чуть истина рождается на свет,    Быки ревут, ее почуя, вслед.    Они не в силах свету помешать,    А могут лишь закрыв глаза дрожать    От страха, что вселил в них Пифагор.

A.Шамиссо

Теорема Пифагора

Дано: прямоугольный треугольник. с -гипотенуза, а,в -катеты.

Доказать: c 2 = a 2 + b 2

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Доказательство:

Достроим до со стороной a + b, его площадь равна

a

b

S 1 = (a + b) 2 или

S 1 = 4S ∆ + S 2

c

b

c

(a + b) 2 = S 2 + 4S ∆

a

S 2

(a + b) 2 = с 2 + 2 a b

a

a 2 + 2ab + b 2 = с 2 + 2 a b

c

c

b

c 2 = a 2 + b 2

b

a

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

И. Дырченко

Формулы:

c 2 = a 2 + b 2

a 2 = c 2 – b 2

b 2 = c 2 – a 2

с

c

b

a

Алгоритм решения задач по теореме Пифагора

• Внимательно прочти задачу, разберись с условием.
• По условию сделай чертеж.
• Выдели на чертеже прямоугольный треугольник.
• Найди катеты и гипотенузу.
• Запиши теорему Пифагора и соотнеси данные в задаче с ней.
• Выполни подстановку данных.
• Соотнеси полученный ответ с вопросом задачи и смыслом условия.

Решение задач

Найти неизвестную сторону треугольника

А

х

3

В

С

4

Сформулируйте утверждения, обратные данным:

Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный

1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный.

3 ) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Дано:

треугольник

с 2 = a 2 +b 2

Доказать:

с 1

с

в 1

в

а

а 1

Доказательство:

с 2 = a 2 +b 2

с 1 2 = a 1 2 +b 1 2

а 1 =а, то а 1 2 =а 2

в 1 =в,то в 1 2 =в 2

с 1 2 =с 2

Древнерусская задача

Случися некоему человеку

к стене лествицу прибрати,

стены тоя же высота

есть 117 стоп. И обрете лествицу

долготою 125 стоп. И ведати хощет,

колико стоп сея лествици нижний конец

от стены отстояти имать?

Дано:

Решение:

Тополь у реки

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его угол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Дано: АС = 3 фута ,

AD = 4 фута,

BC =СD

Найти: АВ.

Решение:

Меньшая сторона параллелограмма 8 см, периметр 36 см. Одна из диагоналей параллелограмма перпендикулярна боковой стороне. Найти площадь параллелограмма.

Решение:

D

C

Дано: ABCD- параллелограмм

AD=8см, Р=36см,BD ┴ AD

Найти: S ABCD

Решение:

Т.К. Р=36 см, AD=8см, то АВ=10см.

∆ АВD- прямоугольный, АВ- гипотенуза, AD,BD- катеты, значит по т. Пифагора

B

A

S ABCD=S∆ABD+S∆DBC, т.к. S∆ABD=S∆DBC по двум катетам, то S ABCD=2∙S∆ABD,

S ABCD=2∙0,5∙6∙8=48 кв.см.

Ответ: 48