Типовой расчет № 1 по дисциплине “Теория вероятностей и математическая статистика”

АНО «ООВО» «УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1

ПО ДИСЦИПЛИНЕ “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”

1. по направлению подготовки

38.03.05 Бизнес информатика, 38.03.01 Экономика (профиль «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика предприятий и организаций», «Коммерция»)

Отделение: очное.

Типовой расчет включает в себя наиболее типичные и распространённые практические задания по основным разделам учебной программы.

Каждый студент очного отделения должен выполнить все задания и предоставить их преподавателю для проверки на практическое занятие № 6. Варианты заданий присваиваются каждому студенту преподавателем. Типовой расчёт выполняется в отдельной ученической тетради в клетку; решение оформляется согласно приведённым для каждого задания образцам. При этом работа считается зачтённой, если правильно и без грубых недочётов выполнено не менее 75 % заданий. В противном случае, работа возвращается студенту на доработку с соответствующей рецензией преподавателя.

Образец решения типового расчета

1. В ящике 10 шаров: 7 черных и 3 белых. Из ящика вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 черных и 2 белых шара.

Решение.

Событие А – среди вынутых шаров окажется 3 черных и 2 белых шара.

Требуемую вероятность найдем с помощью классической формулы:

Число n - общее число возможных исходов - равно (поскольку порядок шаров безразличен) сочетанию 5 из 10 элементов: n = C

Теперь определим число благоприятных исходов m. Очевидно, что способов, которыми можно вынуть 3 черных шара из 7 и 2 белых шара из 5 равно соответственно: С и С.

Поскольку каждая комбинация черных шаров может сочетаться с любой комбинацией белых, всего получится С способов.

Получим: Р(А) =

Ответ: Р(А) ≈ 0,42

1. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5 карт. Какова вероятность того, что среди них не будет карты пиковой масти?

Решение.

Событие А – среди вынутых 5 карт не будет карты пиковой масти.

Как и в предыдущем случае воспользуемся формулой классического подсчета вероятностей

Очевидно, общее количество возможных исходов n равно С.

Так как в колоде 27 карт не пиковой масти, то благоприятным исходом можно считать извлечение 5 любых из них. Тогда m = С

Получим: Р(А) =

Ответ: Р(А) ≈ 0,214

1. Вероятность обнаружения опечатки на странице книги равна 0,01. Найти вероятность того, что в 500-страничной книге не будет обнаружено опечаток (обнаружение опечаток на различных страницах считать независимыми событиями).

Решение.

Рассматриваемые в задаче испытания относятся к схеме Бернулли.

Событие А – обнаружение опечаток в книге. Поскольку в условиях независимых испытаний Бернулли вероятность р = 0,01 близка к нулю, а n = 500 велико, применим формулу Пуассона:

P_n(k) = λ=500 ∙ 0,01 = 510

Для k = 0 (отсутствие опечаток), получаем: Р₅₀₀(0) =

Ответ: Р₅₀₀ ≈ 0,007

1. Узел содержит три независимо работающие детали. Вероятность отказа деталей соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

Решение.

Для нахождения вероятности события А - отказа узла (отказ хотя бы одной детали), найдем сначала вероятность противоположного события Р(Ā), заключающегося в исправной работе всех деталей: Р(Ā) = (1-0,1)∙(1-0,2)∙(1-0,3) = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.

Искомая вероятность равна:

Р(А) = 1 - Р(Ā) = 1-0,504 = 0,496

Ответ: Р(А) ≈ 0,496

1. Монета бросается пять раз. Найти вероятность того, что орел выпадет 2 раза.

Решение.

Рассматриваемые в задаче испытания относятся к схеме Бернулли.

Событие А – выпадение орла. По формуле Бернулли при n = 5, р = 0,5 найдем искомую вероятность:

Ответ: Р₂(2) ≈ 0,01

6. Два завода производят детали, поступающие в магазин. Вероятность выпуска бракованной детали для первого завода равна 0,8, для второго - 0,7. С первого завода поступило в 3 раза больше деталей, чем со второго. Покупатель приобрел годную деталь. Найти вероятность того, что она с первого завода.

Решение.

Событие А – покупатель приобрел годную деталь.

Гипотезы: Н₁ и Н₂ - произвольно выбранная деталь произведена соответственно на первом или втором заводе. Так как событие А уже произошло, то задачу решим по формуле Бейеса:

, , , .

Получим:

Ответ: Р_А ≈ 0,77

Варианты заданий для типового расчета

по дисциплине “Теория вероятностей и математическая статистика”

Вариант 1.

1. В ящике 20 изделий: 16 годных, 4 бракованных. Из ящика вынимают сразу 2 изделия. Какова вероятность, что оба изделия окажутся а) годными, б) бракованными, в) хотя бы одно изделие будет годным?

2. В партии из 15 деталей имеются 10 стандартных. Наудачу отобрано 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно 3 стандартные детали.

3. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

4. В партии готовой продукции, состоявшей из 20 изделий, 4 бракованные. Найти вероятность того, что при случайном выборе 4-х изделий число бракованных и не бракованных изделий окажется равным.

5. В ящике 10 деталей, из которых 4 бракованных. Из ящика вынимают 5 раз деталь (с возвращением ее каждый раз обратно). Найти вероятность того, что хотя бы один раз будет вынута бракованная деталь.

6. Партия изделий содержит 5 % брака. Найти вероятность того, что среди вынутых наугад 4-х изделий окажется 2 бракованных.

Вариант 2.

1. На завод привезли партию из 150 подшипников, в которую случайно попало 20 бракованных. Определить вероятность того, что из двух взятых наугад подшипников окажется: а) оба годные, б) оба бракованные, в) хотя бы один годный.

2. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 белых шара.

3. В колоде 36 карт. Наугад вынимают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

4. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных - 9 отличников.

5. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика равна 0,51. 6. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях.

Вариант 3.

1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди них находятся 3 женщины

2. В ящике среди 100 деталей находится 1 бракованная. Из ящика наудачу извлечены 10 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется бракованная.

3. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди 2-х извлеченных изделий окажется: а) одно окрашенное; б) 2 окрашенных; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В соответственно равны 0,6 и 0,5. Найти вероятность появления только одного из них.

5. Узел содержит 2 независимо работающих детали. Вероятности отказа детали соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

6. Вероятность изготовления детали высшего сорта равна 0.4. Найти вероятность того, что из 260 деталей половина будет высшего сорта.

Вариант 4.

1. На складе 30 подшипников, причем 20 из них изготовлено данной бригадой. Найти вероятность того. что среди 5 взятых наудачу подшипников окажется 3 подшипника, изготовленных этой бригадой.

2. Из колоды 36 карт вынимают сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут дамой, семеркой, тузом.

3. Колода в 16 карт (8 красных и 8 черных) делится пополам. Найти вероятность того, что число красных и черных карт в обеих пачках будет одинаковым.

4. Из ящика, содержащего 15 изделий 1-го сорта и 8 2-го сорта, вынимают сразу 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна деталь 2-го сорта.

5. Всхожесть семян ржи составляет 90 %. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдет 5?

6. Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает в 25 случаях.

Вариант 5.

1. В партии из 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают три изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.

2. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 туза?

3. 12 рабочих получили путевки в 4 дома отдыха: 3 - в первый, 3 - во второй, 2 - в третий и 4 - в четвертый. Найти вероятность того, что данные трое рабочих поедут в один дом отдыха.

4. В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.

5. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.

6. Фабрика выпускает 70 % изделий высшего сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

Вариант 6.

1. В ящике имеется 20 деталей, из которых 15 окрашено. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

2. Из колоды 52 карты наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 дамы.

3. Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0.9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно - стандартное.

4. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того. что 3 очка выпадут 2 раза.

5. Вероятность изготовления деталей первого сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из 60 взятых деталей 48 окажутся первого сорта.

6. Завод выпускает в среднем 70 % изделий 1-го сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий 1-го сорта заключено между 650 и 750.

Вариант 7.

1. В урне 20 шаров: 16 белых и 4 черных. Из урны вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что из них 2 шара будут белые и один 1 черный.

2. В партии из 30 деталей имеется 25 стандартных. Наудачу отобраны 6 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно 4 стандартных деталей.

3. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 4. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

4. В группе 16 студентов, среди которых 8 отличников. Наугад отобраны 10 студентов, найти вероятность того, что среди отобранных 5 отличников.

5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4-х выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

6. Партия изделий содержит 3 % брака. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 5 изделий окажется 2 годных.

Вариант 8.

1. В урне 15 белых и 8 черных шаров. Вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

2. В колоде 36 карт. Наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

3. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В равны соответственно 0,3 и 0,7. Найти вероятность появления только одного из них в трех испытаниях подряд.

4. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 3 девочки, если вероятность рождения девочки равна 0,49.

5. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.

6. Вероятность наступления события А в каждом опыте равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в 100 опытах произойдет 76 раз.

Вариант 9.

1. Цех выпускает в среднем 80 % продукции 1-го сорта. Какова вероятность того, что в партии из 125 изделий будет больше 100 изделий 1-го сорта?

2. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет 50 мальчиков.

3. Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что орел выпадает 3 раза?

4. Колода из 12 карт (6 красных и 6 черных) делится пополам. Найти вероятность того, что число красных и черных карт в обеих пачках будет одинаково.

5. Из колоды в 36 карт вынимают сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут дамой, семеркой и тузом.

6. Бросаются три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9.

Вариант 10.

1. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара.

2. В колоде 32 карты. Наугад вынимают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

3. Произведен залп из двух орудий. Вероятность попадания в цель из первого орудия равна 0,8, из второго - 0,9. Найти вероятность поражения цели.

4. Вероятность появления событий в каждом из 10000 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что события произойдет не более 7400 раз.

5. Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 облигаций 3 выиграют?

6. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 опытах.

Литература

1. Гмурман, Владимир Ефимович. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., стер. - М.: Издательство Юрайт, 2016

2. Гмурман, Владимир Ефимович. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие/ В. Е. Гмурман. - 12-е изд., стер.. - М.: Издательство Юрайт, 2016

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник и практикум для академического бакалавриата/ Н.Ш. Кремер – М.: Издательство Юрайт, 2016

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике, случайным процессам/ Дмитрий Письменный. – 4-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2015

5. Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ В.И. Бухтоярова [и др.].— Электрон. текстовые данные.— Кемерово: Кемеровская государственная медицинская академия, 2010.— 88 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/6113.— ЭБС «IPRbooks», по паролю

6. Шнарева, Г.В. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [Электронный ресурс]: учебно-метод. пособ./ Г.В. Шнарева; Университет экономики и управления (Симферополь). - Электрон. текстовые дан. - С.: Университет экономики и управления, 2011

7. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учеб. пособие для вузов/ П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. – 7-е изд., испр. - М.:ООО «Издательство Оникс»:ООО «Издательство «Мир и Образование», 2014

7