Смотрите запись вебинара для учителей о современных инструментах, повышающих эффективность обучения в классе и дистанционно

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 02.07.2025 11:58

Шнарева Галина Вячеславовна

преподаватель математических дисциплин

25 222

1 092

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Крым

Специализация

Математика

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Типовой расчет № 3 по дисциплине “теория вероятностей и математическая статистика”

Категория: Математика

25.05.2017 19:50

Типовой расчет включает в себя наиболее типичные и распространённые практические задания по основным разделам учебной программы.

Просмотр содержимого документа
«Типовой расчет № 3 по дисциплине “теория вероятностей и математическая статистика”»

АНО «ООВО» «УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3

ПО ДИСЦИПЛИНЕ “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”

по направлению подготовки

38.03.05 Бизнес информатика, 38.03.01 Экономика (профиль «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика предприятий и организаций», «Коммерция»)

Отделение: очное.

Каждый студент очного отделения должен выполнить все задания и предоставить их преподавателю для проверки на практическое занятие № 17. Варианты заданий присваиваются каждому студенту преподавателем. Типовой расчёт выполняется в отдельной ученической тетради в клетку; решение оформляется согласно приведённым для каждого задания образцам. При этом работа считается зачтённой, если правильно и без грубых недочётов выполнено не менее 75 % заданий. В противном случае, работа возвращается студенту на доработку с соответствующей рецензией преподавателя.

Варианты заданий для типового расчета

по дисциплине “Теория вероятностей и математическая статистика”

По данным выборки:

1) составить дискретное и интервальное статистические распределения частот и относительных частот выборки; выполнить контроль правильности вычисления частот и относительных частот.

2) построить полигон относительных частот для дискретного распределения и гистограмму относительных частот для интервального распределения; на одном чертеже с гистограммой построить график теоретической плотности вероятностей нормального распределения. Сделать вывод об их визуальном совпадении.

3) построить эмпирическую функцию распределения F*(х) по дискретному и начертить ее график;

4) найти точечные несмещенные оценки генеральной средней, генеральной дисперсии, генерального среднего квадратического отклонения,

5) предполагая нормальное распределение случайной величины найти с надежностью  доверительный интервал для математического ожидания при известном ;

6) проверить с помощью критерия ² Пирсона при уровне значимости α гипотезу о соответствующем теоретическом распределении заданной случайной величины.

Образец решения типового расчета в MS Excel

Исходные данные	Исходные данные (отсортированные по возрастанию)
0,87	0,81
0,94	0,81	Объем выборки
0,99	0,81	n=	40
0,90	0,82
0,90	0,82	Вариационный ряд:
0,87	0,82	0,81
0,85	0,82	0,82
0,87	0,85	0,85
0,90	0,85	0,87
0,94	0,85	0,90
0,87	0,85	0,94
0,87	0,85	0,97
0,82	0,85	0,99
0,90	0,87
0,94	0,87
0,90	0,87
0,85	0,87
0,85	0,87
0,87	0,87
0,94	0,87
0,81	0,87
0,82	0,87
0,87	0,90
0,97	0,90
0,90	0,90
0,94	0,90
0,85	0,90
0,81	0,90
0,87	0,90
0,85	0,90
0,90	0,94
0,82	0,94
0,99	0,94
0,90	0,94
0,94	0,94
0,82	0,94
0,97	0,97
0,81	0,97
0,85	0,99
0,87	0,99

1) составим дискретное статистическое распределение частот и относительных частот

х	0,81	0,82	0,85	0,87	0,90	0,94	0,97	0,99	контроль
n_i	3	4	6	9	8	6	2	2	40
w_i	0,075	0,1	0,15	0,225	0,2	0,15	0,05	0,05	1


составим интервальное статистическое распределение частот и относительных частот
х_мин	0,81
х_макс	0,99
R размах варьирования	0,18
количество интервалов	6,322043291	≈	7
h шаг	0,028	≈	0,03
a₁ - начало 1-го интервала	0,80

границы интервалов	n_i	w_i
0,80	0
0,83	7	0,175
0,86	6	0,15
0,89	9	0,225
0,92	8	0,2
0,95	6	0,15
0,98	2	0,05
1,01	2	0,05
контроль	40	1

2) построим полигон относительных частот для дискретного распределения

построим гистограмму относительных частот для интервального распределения,

на одном чертеже с гистограммой построим график теоретической плотности

вероятностей нормального распределения

границы интервалов	w_i	wi/h	теоретическая плотность вероятностей нормального распределения
0,80				1,616
0,83	0,175	5,83		3,952
0,86	0,15	5,00		6,734
0,89	0,225	7,50		7,994
0,92	0,2	6,67		6,611
0,95	0,15	5,00		3,809
0,98	0,05	1,67		1,529
1,01	0,05	1,67		0,428

Выборочная средняя,

0,885

Выборочное среднее квадратическое отклонение, σ_в0,0499

0,0499

Можно сделать вывод об визуальном совпадении гистограммы и графика теоретической плотности вероятностей нормального распределения

3) построим эмпирическую функцию распределения F*(х) по дискретному распределению и начертить ее график

x≤0,81

0,075

0,81

0,175

0,82

0,325

0,85

F*(x)=

0,55

0,87

0,75

0,90

0,9

0,94

0,95

0,97

x0,99

4) найдем точечные несмещенные оценки.

точечная несмещенная оценка генеральной средней:

0,885

точечная несмещенная оценка генеральной дисперсии:

S²=

0,00255

точечная несмещенная оценка генерального среднего квадратического отклонения:

0,0505

5) предполагая нормальное распределение случайной величины найти

с надежностью γ доверительный интервал для математического ожидания при известном σ

γ=

0,999

σ=

0,05

Ф(t)=

0,4995

3,4

Δ=

0,0269

0,8581

0,9119

6) проверим с помощью критерия ² Пирсона при уровне значимости α гипотезу о нормальном распределении случайной величины.

Уровень значимости

α =

0,05

Количество степеней свободы

k = n – 3

n_i'= п ∙ Р_i,

Т.к. необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом интервале не менее 5 наблюдений, то необходимо объеденить последние три интервала

границы интервалов

эмпирические частоты n_i

новые границы интервалов

эмпирические частоты n_i

аргумент функции Лапласа

значение функции Лапласа

P_i

теоретические частоты n_i'

0,80

-1,766

-0,4613

0,83

-1,172

-0,3794

0,08185

3,274

4,24018

0,86

-0,579

-0,2185

0,16089

6,436

0,02949

0,89

0,015

0,0060

0,22458

8,983

3,2E-05

0,92

0,609

0,2287

0,22263

8,905

0,09199

0,95

1,01

1,202

0,3854

0,15674

6,270

0,01158

0,98

1,01

χ²_набл=

4,3733

χ²_крит=

5,9915

Т.к. Χ²_набл²_крит, то гипотезу о нормальном распределении принимаем.

Справка

Функция СЧЁТ используется для определения количества числовых ячеек в диапазонах и массивах чисел.
С помощью статистической функции СЧЁТЕСЛИ можно подсчитать количество ячеек, отвечающих определенному условию.
Для вычисления частот n_i можно использовать функцию ЧАСТОТА, обращение к которой имеет вид: =ЧАСТОТА(массив _ данных;массив _границ), где массив _ данных – адреса ячеек, для которых вычисляется частота; массив _границ – адреса ячеек, в которых размещаются упорядоченные по возрастанию.
Функция ЧАСТОТА вводится как формула массива, т.е. предварительно выделяется интервал ячеек, в который будут помещены вычисленные частоты, затем вводится функция ЧАСТОТА с соответствующими аргументами, потом одновременно нажимаются клавиши [Ctrl] + [Shift] + [Enter].
Числовые характеристики выборки можно найти с помощью статистических функций СРЗНАЧ, ДИСПР, СТАНДОТКЛОНП, МОДА, МЕДИАНА, МИН, МАКС.
Для вычисления исправленной дисперсии и исправленного среднего квадратического отклонения можно использовать статистические функции ДИСП и СТАНДОТКЛОН.
Для вычисления теоретической плотности вероятностей нормального распределения можно использовать статистическую функцию НОРМРАСП по серединам интервалов с логическим значением ЛОЖЬ.
Для вычисления значений функции распределения Ф (х) можно использовать статистическую функцию НОРМСТРАСП(Х)-0,5.
Для нахождения значения критической точки распределения χ²можно использовать функцию ХИ2ОБР.

Литература

Гмурман, Владимир Ефимович. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., стер. - М.: Издательство Юрайт, 2016
Гмурман, Владимир Ефимович. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие/ В. Е. Гмурман. - 12-е изд., стер.. - М.: Издательство Юрайт, 2016
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник и практикум для академического бакалавриата/ Н.Ш. Кремер – М.: Издательство Юрайт, 2016
Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике, случайным процессам/ Дмитрий Письменный. – 4-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2015
Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая статистика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ В.И. Бухтоярова [и др.].— Электрон. текстовые данные.— Кемерово: Кемеровская государственная медицинская академия, 2010.— 88 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/6113.— ЭБС «IPRbooks», по паролю
Шнарева, Г.В. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [Электронный ресурс]: учебно-метод. пособ./ Г.В. Шнарева; Университет экономики и управления (Симферополь). - Электрон. текстовые дан. - С.: Университет экономики и управления, 2011
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учеб. пособие для вузов/ П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. – 7-е изд., испр. - М.:ООО «Издательство Оникс»:ООО «Издательство «Мир и Образование», 2014