Тригонометрические функции

• Знать:

• Уметь:

Понятия:

Определения синуса, косинуса и тангенса острого угла.

Основное равенство тригонометрии.

Тригонометрические формулы.

Применять знания при решении задач.

Вычислять по формулам синус, косинус и тангенс для любого угла в промежутке от 0° до 180°.

Теория:

у

М (х;у)

• Пусть точка М(х; у) лежит на единичной окружности в 1 четверти плоскости хОу. Из этой точки проведем перпендикуляр к оси Ох и обозначим основание перпендикуляра через D (х;0). Луч ОМ с положительным направлением оси Ох образует угол α . Тогда из прямоугольного треугольника ∆ОМ D получим равенства:

α

х

О

D( х;0)

Равенства:

Так как MD=y , OD=x и OM=1 , то

sin α =у, cos α =х, (1)

y

M(x ;у)

• Если луч ОМ с положительным направлением оси Ох образует угол α (0°≤ α≤ 180°), то синус, косинус и тангенс угла α определяются соответственно формулами (1). При определении тангенса угла α следует учесть, что α≠ 90°.

0

D(x ;у)

x

• Если α = 90°, то х=0, у=1. Поэтому sin90º=1 , cos 9 0º= 0, tg 9 0º не существует, так как число нельзя делить на нуль.
• Если α =0º , то х=1, у=0. Поэтому sin0º=0 , cos0º=1 , tg0º=0
• Если α =180 °, то х=-1, у=0. Тогда sin180º=0 , cos180º=–1 , tg180º=0

Так как окружность является единичной, то для любой точки М(х;у), лежащей на окружности x²+ у ²=1 , выполняется равенство sin² α +cos²=1 .

Итак, для любого угла α в промежутке от 0° до 180° выполняется основное равенство тригонометрии

sin² α +cos²=1

Вместе с этим равенством выполняются и другие тригонометрические формулы:

α ≠ 90°.

α≠ 0°, α≠ 180°.

Так как -1≤ y≤1 , то выполняется неравенство ­1≤sin α≤ 1 , так как ­1≤x≤1 , то выполняется неравенство ­1≤cos α≤ 1 .

Отсюда следует выполнение равенств:

при 0º≤ α≤ 180º

И так, мы с вами доказали, что при 0°≤ α≤ 90° выполняются формулы:

sin(90 ° - α )=cos α cos(90º - α )=sin α

tg(90º - α ) =ctg α ctg ( 90º- α )=tg α

Аналогично доказывается выполнение формул:

sin( 18 0 ° - α )= sin α cos( 18 0º - α )= - co s α

tg( 18 0º - α ) = - tg α , ( α≠ 90º)

ctg (18 0º- α )= - c tg α , ( α≠ 0º , α≠ 180º)

Действительно, прямоугольные треугольники ∆ OMD и ∆OM‘D' имеют равные острые углы и гипотенузы. Поэтому OD=OD' , OM=OM' . Но так как M ' лежит во 2 четверти, то M ' (-х;у) и D (-х;0).Тогда по определению из равенств sin(180º- α )=y и sin α =y получим равенство sin(180º- α )=sin α , а из равенств cos(180º- α )= - x cos α =x получим равенство

cos(180º- α )=-cos α .

y

М ' (-х;у)

М(х;у)

180º- α

α

α

x

-1

0

1

D '

D

Используя формулы

Докажите равенства:

• tg( 18 0º - α ) = - tg α , ( α≠ 90º)
• ctg (18 0º- α )= - ctg α , ( α≠ 0º , α≠ 180º)

sin(180º- α )=sin α ,

cos(180º- α )=-cos α .

sin

90°- α

cos α

90° + α

cos

180°- α

cos α

sin α

tg

ctg α

sin α

ctg

- sin α

- ctg α

- cos α

tg α

- tg α

- tg α

- ctg α

Параграф 4, стр. 112.

№ 452, №455 (обязательно для всех)

№ 460.