Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью

Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью

Повторим!

Перпендикуляром , опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра .

Наклонной , проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной .

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Повторим!

AB – перпендикуляр к плоскости α, АВ 

AC – наклонная.

CB – проекция наклонной.

С – основание наклонной.

B - основание перпендикуляра.

Повторим! Свойства перпендикуляра и наклонных.

• Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. (АС  АМ)
• Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции. (АВ = ВС, значит, АО = ОС)
• Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой. (АО = ОС, значит, АВ = ВС)
• Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.

(КО  ОВ, значит, СК  СВ)

• Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.

(СК  СВ, значит, КО  ОВ)

Угол между прямыми

Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении.

Угол между скрещивающимися прямыми

Это угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся.

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Чтобы построить угол между прямой и плоскостью

1) необходимо провести перпендикуляр из точки М к плоскости;

2)соединить основание перпендикуляра с основанием наклонной, т.е. провести проекцию;

3)искомый угол будет между проекцией и наклонной.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости, называется расстоянием от точки М до плоскости.

Теорема

Из двух наклонных, проведённых из одной точки к плоскости, меньшая образует с плоскостью больший угол, и наоборот: угол, образованный большей наклонной, будет меньшим из двух.

Доказательство

Пусть А∉α . Из точки А проведём две наклонные прямые, причем АВ ∠АСО.

Стороны ОВ и ОС являются проекциями АВ и АС соответственно. Меньшая прямая имеет меньшую проекцию, а значит, ОВ

∠АСЕ, и так как ∠АЕО = ∠АВО, то ∠АВО ∠АСЕ. Что и требовалось доказать. " width="640"

Отложим на стороне ОС отрезок ОЕ, равный ОВ.  АОВ и  АОЕ (ОВ = ОЕ по построению, АО — общий катет. Следовательно,  АОВ и  АОЕ по двум катетам.

Значит, равны и соответственные углы: ∠АВО = ∠АЕО.

 АЕО является внешним для  АЕС, и по свойству внешнего угла ∠АЕО = ∠АСЕ + ∠САЕ. Так как  АЕО равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним, то он больше любого из этих двух углов.

∠ АЕО ∠АСЕ, и так как ∠АЕО = ∠АВО,

то ∠АВО ∠АСЕ. Что и требовалось доказать.

Задача 1

Дано, что BD перпендикулярен плоскости  α ,  ∠BAD  = 30º,  ∠BCD  = 60º. Найдите наименьшую из проекций наклонных на плоскость  α .

ОТВЕТ: DC

Задача 2

Из точки  O  к плоскости  α  проведена наклонная, длина которой равна 17 см, проекция наклонной равна 15 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка  O ?

Дано: ОН  , ОМ = 17 см, МН = 15 см

Найти: ОН

ОТВЕТ: 8 см

Задача 3

Прямая AM перпендикулярна плоскости равностороннего  ABC, точка H - середина стороны BC. Найдите угол между прямой MH и плоскостью ABC, если AM = a, HB = a.

Дано: АМ  ,  АВС – равносторонний, Н – середина ВС, если AM = a, HB = a.

Найти:  МНА

ОТВЕТ: 30 

Задача 4

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 2 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Дано: DA  , DA = 2 см,

 DBA =  DCA = 45  ,  BDC = 60 

Найти: ВС

ОТВЕТ: 2 см

Задача 5

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.

Дано: АD  , АD = а ,

 АВD =  АСD = 30  ,  BDC = 120 

Найти: ВС

ОТВЕТ: 3 а

Задача 6

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных.

Дано: SO  , SO = a ,

 SBO = 45  ,  SAO = 30  ,  AOB = 90 

Найти: AB

ОТВЕТ:

Задача 7

Длина отрезка АB равна 7м. Он пересекает плоскость в точке O. Расстояние от концов отрезка до плоскости соответственно равны 5 м и 2 м. Найди острый угол, который образует отрезок АB с плоскостью.

Дано: АВ  =О, АB = 7м

АД  , ВС  , АД = 5 м, ВС = 2 м

Найти:  АОД

ОТВЕТ: