Просмотр содержимого документа
«Уравнения с параметрами»
Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита (х, у, z ,…) , параметры – первыми буквами (а, b , c , …) .
Уравнением с параметром а называют уравнение вида f ( x , a ) = 0 , которое надо решить относительно х и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число .
Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения или доказать, что корней нет.
Пример 1. Решить уравнение ax = 1 .
Решение.
1. если a ≠ 0 :
0 · x = 1 – не имеет решений ;
2 . если a = 0 :
Пример 2 . Решить уравнение a 2 x – 1 = x + a .
Решение.
a 2 x – 1 = x + a ;
a 2 x – x = a + 1;
x ( a 2 – 1) = a + 1 ;
1 . если a 2 – 1 ≠ 0 , то есть a ≠ ±1 :
2 . если a = 1 , то есть 0 · x = 2 :
уравнение не имеет решений;
3. если a = –1 , то есть 0 · x = 0 :
Решение.
ОДЗ :
х – 4 ≠ 0 ;
х ≠ 4 ;
а ≠ 2 : x = 2a ;
a = 2 : уравнение не имеет решений ;
х – 2а = 0;
х = 2а ;
х ≠ 4 :
2а ≠ 4 ;
а ≠ 2 ;
Ответ: если а ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a;
если a = 2, то уравнение не имеет решений.
Пример 4 . Решить уравнение |x – a| = 2 .
Решение.
x 1 = a + 2 , x 2 = a – 2 ;
Ответ: x 1 = a + 2 , x 2 = a – 2 .
Пример 5 . Решить уравнение |x| + |x – a| = 0 .
Решение.
Пример 6. При всех значениях параметра а определим число корней кубического уравнения х 3 – 3х + 2 – а = 0 .
Решение.
а = х 3 – 3х + 2 ;
4
а 4 : уравнение имеет один корень ;
а = 0 и а = 4 : уравнение имеет два корня ;
0
2
– 2
x
– 1
1
Ответ: если а 4, то данное уравнение имеет один корень один корень; если а = 0 и а = 4 – два корня; если 0
Пример 7 . Решить уравнение m х 2 + 3 m х – ( m +2) = 0 .
Решение.
D = m (13 m + 8) ;
D = m (13 m + 8) ≥ 0 ;
Пример 8 . При каких значениях параметра а уравнение
– 2 sin 2 х = (а 2 + 5а + 2) sin х имеет ровно четыре корня на отрезке [0; 2π] ?
Решение.
1
sin х = 0 ;
0
– 1
Ответ: а = – 1, а = – 4, а = 0, а = – 5.