Урок "Логарифмическая функция и её приложения"

0,

.

Так как 3 1, то .

Решаем неравенство

Ответ:

12. Подводятся итоги урока.

Приложение.

Любопытная задача, взятая из книги “Господа Головлевы” Салтыкова-Щедрина:

“Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: Сколько было бы у него денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей?

Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущение, что он произвел вычисления правильно (допущения маловероятное, т.к. едва ли Головлев знал логарифмы и умел вычислять сложные проценты), требуется установить, сколько % платил в то время ломбард.

“Завещание на сотни лет”

Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенжамина Франклина. Вот извлечение из него.

“Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов были употреблены на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечению второго столетия сумма возрастет до 4060000 фунтов стерлингов. Из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжение бостонских жителей, а 3000000 – правлению Массачустской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов”.

Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Математический расчет подтверждает, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь в 1,05 раза (т.к. капитал, приносящий 5 %, увеличивается ежегодно в 105 раз), через 100 лет должны превратиться в х = 1000 · 1,05¹⁰⁰ фунтов. Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов lg 1000 + 100lg1, 05 = 5,11893 откуда х = 131000 в согласии с текстом завещания.

Далее 31000 фунтов в течение следующего столетия превращается в сумму у = 31000 · 1,05¹⁰⁰, откуда вычисляя с помощью логарифмов, находим у = 4076000.

Звезды, шум и логарифмы.

Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оценивается одинаковым образом – по логарифмической шкале.

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что “величина” звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит “бел”, но практически используется единица громкости, равные его десятой доле, - так называемый “децибелы”. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела, 3 бела, и т.д. Составляют арифметическую прогрессию… Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.

Логарифмы и ощущения.

Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабо звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы “логарифмирует” полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения.

Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.

Не хотелось бы, чтобы Вы пришли к неправильному выводу о том, распределение звезд по звездным величинам обусловлено физическими свойствами самих звезд (яркость, удаленность), а последовательность степеней громкости шума зависит от его характеристик (интенсивность, частота). Все это вытекает из наших ощущений, воспринимаемых органами чувств человека: зрение, слух, осязание, обоняние… Эти ощущения вызываются внешними раздражителями, которые могут отличаться друг от друга. Например, удары молота о скользкую плиту в 100 раз громче шелеста листьев, или яркость вольтовой дуги в триллион раз превосходит яркость звезды еле видимой на ночном небе.

Все закономерности, о которых шла речь выше, являются следствиями общего для всех органов чувств “психофизического закона Вебера-Фехнера”. Фехнер математически выразил тот факт, что ощущение изменяется гораздо медленнее, чем растет сила раздражения.

“Когда величина раздражителя изменяется в геометрической прогрессии, величина ощущения изменяется в прогрессии арифметической”, то есть “Величина ощущения приблизительно пропорциональна логарифму интенсивности раздражителя”.

Таким образом, величина блеска звезд пропорциональна логарифму по основанию 2. 5 его физической яркости, степень громкости шума пропорциональна логарифму по основанию 10 внешнего раздражителя, величина звука пропорциональна логарифму по основанию 2 ее физической характеристики. Числа 2; 2,5; 10 вычислены экспериментальным путем.

Интересный факт: Пример процесса, подчиняемого закону Вебера-Фехнера:

“Продвижение людского потока при эвакуации при пожаре пропорционально логарифму плотности толпы”.

Физики шутят: “ Математика – царица всех наук, но служанка физики”. Так пошутить могут и музыканты, и биологи, и психологи и др. А это еще раз подтверждает правильность слов Карла Маркса “ Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой”.

Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам. Сокращая время на вычисления, и тем самым. Как сказал знаменитый французский ученый Лаплас: “Удлиняя жизнь вычислителям”.

Ещё недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером. Она позволяла быстро получать ответ, с инженерного обихода вытеснила микрокалькулятор, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы

Математический тренажер №12

ПРЕЗЕНТАЦИЯ.

Любопытная задача, взятая из книги “Господа Головлевы” Салтыкова-Щедрина:

“Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: Сколько было бы у него денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей?Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущение, что он произвел вычисления правильно (допущения маловероятное, т.к. едва ли Головлев знал логарифмы и умел вычислять сложные проценты), требуется установить, сколько % платил в то время ломбард.

“Завещание на сотни лет”

Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенжамина Франклина. Вот извлечение из него.

“Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов были употреблены на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечению второго столетия сумма возрастет до 4060000 фунтов стерлингов. Из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжение бостонских жителей, а 3000000 – правлению Массачуйстской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов”.

Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Математический расчет подтверждает, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь в 1,05 раза (т.к. капитал, приносящий 5 %, увеличивается ежегодно в 105 раз), через 100 лет должны превратиться в х = 1000 · 1,05¹⁰⁰ фунтов. Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов lg 1000 + 100lg1, 05 = 5,11893 откуда х = 131000 в согласии с текстом завещания.

Далее 31000 фунтов в течение следующего столетия превращается в сумму у = 31000 · 1,05¹⁰⁰, откуда вычисляя с помощью логарифмов, находим у = 4076000.