Урок по теме "Перестановки и факториал"

Тема урока

Перестановки и факториал

Задача 1

В книжном магазине неопытный продавец уронил с полки собрание сочинений и в спешке поставил тома обратно в случайном порядке. Сколькими способами он мог поставить книги на полку, если упали

а) два тома стихов Есенина;

б) три тома собрания сочинений Пушкина;

в) четыре тома «Войны и мира» Толстого;

г) семь томов «Гарри Поттера»?

Решение

а) два тома стихов Есенина;

б) три тома собрания сочинений Пушкина;

в) четыре тома «Войны и мира» Толстого;

г) семь томов «Гарри Поттера»?

Ответ: а) 2; б) 6; в) 24; г) 5040.

Перестановка

Определение. Перестановкой из n элементов некоторого множества называется способ их нумерации, то есть упорядочивания

Перестановка из n предметов-

это способ занумеровать n предметов числами от 1 до n .

n

n- 2

n- 1

…

4

1

3

2

…

…

n

n- 2

n- 1

…

4

1

3

2

…

…

Применим комбинаторное правило умножения

n • ( n −1) • ( n −2) • ... • 3 • 2 • 1

n • ( n −1) • ( n −2) • ... • 3 • 2 • 1

Такое произведение всех натуральных чисел от 1 до n называют факториалом числа n («эн факториал)

и обозначают n !

n ! = 1 • 2 • 3 • ... • n

Факториал

Определение . Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n .

n ! = 1 • 2 • 3 • ... • n

n ! = 1 • 2 • 3 • ... • n

Перестановка –из n предметов-

это способ занумеровать n предметов числами от 1 до n

P n =n!

2!=1•2=2

1!=1

0!=1

3!=1•2 •3=6

Заполните таблицу

№ 1.Вычислите:

а)

= = 60

б)

= = 42

= = 720

в)

№ 2. Упростите выражение:

а)

=

=

б)

=

=

Демоверсия

Полный доступ по ссылке

https:// vk.com/market-221345243?w=product-221345243_9971527%2Fquery

№ 3. Вычислите:

=

а)

=

=541=205

=

б)

=497

№ 4

Сколько существует разных последовательностей, составленных из букв А, В, С и цифр 7, 8 и 9, если каждая буква и цифра используется ровно один раз?

P n =n!

Решение: Всего 6 комбинаций

6! =6•5•4•3•2•1 =720

P 6 = 6!

№ 5

Сколько существует семизначных телефонных номеров, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, если каждая цифра используется ровно один раз?

P n =n!

Решение: Всего 7 комбинаций

7! =7•6•5•4•3•2•1 =5040

P 7 = 7!

№ 6

Сколько существует пятизначных чисел, в которых все цифры нечётны и различны?

P n =n!

Решение: Всего 5 комбинаций

5! =5•4•3•2•1 =120

P 5 = 5!

№ 8

В страховой компании проходит рекламная акция: компьютер случайным образом выбирает автомобильный номер, и владелец автомобиля с таким номером получает скидку. Найти вероятность того, что счастливым окажется номер «В 845 МА».

№ 9

Какова вероятность того, что номер случайно проезжающей мимо машины записан только чётными цифрами?

Домашнее задание:

1.В регистрационном номере автомобиля 3 буквы, 3 цифры и номер региона. Цифры любые (0-9), а букв только 12 (A, B, E, K, M, H, O, P, C, T, Y, X) (те, что совпадают начертанием с какой-нибудь латинской буквой). Сколько может существовать различных автомобильных номеров (без учёта номера региона)?

2. Сколько существует двузначных чисел, удовлетворяющих следующим

условиям:

а) цифры не повторяются; б) чётных; в) вторая цифра больше 3.

3.Сколько существует трёхзначных чисел, удовлетворяющих следующим условиям:

а) число десятков нечётно; б) цифры не повторяются; в) чётных; г) третья цифра совпадает с первой.

4 Упростите выражение:

а) •

б) •