Урок по теме "Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями"

Тема урока: Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Учитель: Гришко Е.М.

Место работы, должность: учитель математики МБОУ "СОШ№4" г.Красноперекопска

Класс: 7 класс

Предмет: Алгебра

Учебник: Ю.Н. Макарычев «Алгебра. 7 класс».

Цель урока: вывести правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями; дать определение нулевой степени числа, не равного нулю; формировать умение выполнять указанные действия со степенями.

Задачи  урока:

1. Образовательные задачи урока (формирование познавательных УУД):

• познакомить учащихся со степенью с натуральным показателем;

• тренировать способность к использованию выведенного алгоритма;

• организовать деятельность учащихся по приобретению необходимых умений и навыков;

• повторить и закрепить;

1. Воспитательные задачи урока ( формирование коммуникативных и личностных УУД):

• содействовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету;

• прививать учащимся навыки организации самостоятельной работы;

• умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

3. Развивающие задачи урока: (формирование регулятивных УУД)

• развивать умения учащихся анализировать, делать выводы, определять взаимосвязь и логическую последовательность мыслей;

 Тип урока: 

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Используемые учебники и учебные пособия: 

Учебник для общеобразовательных учреждений /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под редакцией С.А. Теляковскогоей С.А. Теляковского 

Используемое оборудование: 

Презентация, раздаточный материал; лист целеполагания (Приложение 1.) и лист самоконтроля (Приложение 2.).

I  Организационный момент. Мотивационный момент.

Здравствуйте ребята! Садитесь!

Прежде чем начать урок мне бы хотелось рассказать одну притчу:

«Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому вопрос. У первого спросил: «Что ты делал целый день». И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?». И тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». Третьему человеку задал свой вопрос мудрец и в ответ услышал: «А я принимал участие в строительстве храма!»

Желаю и вам ребята сегодня принять участие в строительстве храма ваших знаний.

II.Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности (актуализировать учебный материал необходимый для изучения нового, зафиксировать затруднения в деятельности)

1. Проверка домашнего задания.

САЙД 2

Откройте тетради, запишите число и классная работа.

Что было задано на дом?(№377, 386 (а,в), 388(а-г), 400)

Проверка домашнего задания.

№ 388.

Решение:

а) –1³ + (–2)³ = –1 + (–8) = –9;

б) –6² – (–1)⁴ = –36 – 1 = –37;

в) –8³ + (–3)³ = –512 + (–27) = –539;

г) 10 – 5 · 2⁴ = 10 – 5 · 16 = 10 – 80 = –70;

 Поменяйтесь тетрадями с партнёром по плечу, оцените работу партнёра с решением, которое представлено на доске.

1. Устная работа

САЙДЫ 3-5

Для дальнейшей работы по этой теме, нам нужно будет вспомнить элементарные правила степеней.

• Ответьте на вопросы.

1. Что такое степень? 

2. Чему равна степень отрицательного числа с четным показателем?

 3. Чему равна степень отрицательного числа с нечетным показателем?

1. Что получится при возведении в степень с натуральным показателем числа нуль?

СЛАЙД 6

• Вычислите:

а) 3²; б) ; в) ; г) (–0,1)⁴; д) ; е) –(–7)²;

ж) –(–2)³; з) 0¹⁶; и) (–1)¹⁸; к) –(–1)²³.

СЛАЙД 7

• Проверочная работа.

Найдите значение выражения.

а) – (0,5)²; б) 3000 · (0,2)³ – (–2)⁶.

СЛАЙД 8

• Работа в парах:

Вычислите:

(возникает затруднение при выполнении последних двух заданий)

Выход на проблему и постановка учебной задачи на урок. (задачу на урок ставят сами дети)

III.Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

СЛАЙД 9

Построение проекта выхода из затруднения и открытие нового знания

Записывают тему урока и разрабатываю план действий:

- представить степени в виде произведения

- вычислить значение степени

- провести анализ полученного затруднения

- записать формулу в общем виде

- сформулировать соответствующее правило

Работа с учебником (стр.99-101)

СЛАЙДЫ 10-11

Вернемся к тем заданиям, где возникли затруднения в ходе устной работы

IV.Усвоение новых знаний и способов действий.

Первичное закрепление

Учебник «Алгебра 7 класс» автор Макарычев Ю.Н.

№ 403 (а, е, ж,з), № 405 (а-г), № 407, 409 (а,в,д,е), 410 (а,в,д), 411(а-г), 414(а,в,з). 416(а,б,в),417(а,б)

1. № 403.

Решение:

а) x⁵x⁸ = x^{5 + 8} = x¹³; е) yy¹² = y^{1 + 12} = y¹³;

ж) 2⁶2⁴ = 2^{6 + 4} + 2¹⁰; з) 7⁵7 = 7^{5 + 1} = 7⁶.

2. № 405.

Решение:

а) a¹⁵ = a^{6 + 9} = a⁶ ∙ a⁹; б) a¹⁵ = a^{9 + 6} = a⁹ ∙ a⁶;

в) a¹⁵ = a^{2 + 13} = a² ∙ a¹³; г) a¹⁵ = a^{14 + 1} = a¹⁴ ∙ a = a ∙ a¹⁴.

3. № 407.

Решение:

Представим число 6 в виде суммы двух натуральных чисел всеми возможными способами:

6 = 1 + 5; 6 = 2 + 4; 6 = 3 + 3.

Значит, a⁶ = a ∙ a⁵; a⁶ = a² ∙ a⁴; a⁶ = a³ ∙ a³.

4. № 409.

Решение:

а) m³m²m⁸ = m^{3 + 2 + 8} = m¹³; в) xx⁴x⁴x = x^{1 + 4 + 4 + 1} = x¹⁰;

д) 7⁸ ∙ 7 ∙ 7⁴ = 7^{8 + 1 + 4} = 7¹³; е) 5 ∙ 5² ∙ 5³ ∙ 5⁵ = 5^{1 + 2 + 3 + 4} = 5¹¹.

5. № 410.

При выполнении этого упражнения ученики сами определяют основание степени, которое будет являться общим для двух степеней.

Решение:

а) 5⁸ ∙ 25 = 5⁸ ∙ 5² = 5^{8 + 2} = 5¹⁰;

в) 6¹⁵ ∙ 36 = 6¹⁵ ∙ 6² = 6^{15 + 2} = 6¹⁷;

д) 0,4⁵ ∙ 0,16 = 0,4⁵ ∙ 0,4² = 0,4^{5 + 2} = 0,4⁷;

е) 0,001 ∙ 0,1⁴ = 0,1³ ∙ 0,1⁴ = 0,1^{3 + 4} = 0,1⁷.

6. № 411.

Решение:

а) 2⁴ ∙ 2 = 2^{4 + 1} = 2⁵ = 32;

б) 2⁶ ∙ 4 = 2⁶ ∙ 2² = 2^{6 + 2} = 2⁸ = 256;

в) 8 ∙ 2⁷ = 2³ ∙ 2⁷ = 2^{3 + 7} = 2¹⁰ = 1024;

г) 16 ∙ 32 = 2⁴ ∙ 2⁵ = 2^{4 + 5} = 2⁹ = 512.

1. № 414.

Решение:

а) x⁵ : x³ = x^{5 – 3} = x²;

в) a²¹ : a = a^{21 – 1} = a²⁰;

з) 0,7⁹ : 0,7⁴ = 0,7^{9 – 4} = 0,7⁵.

2. № 416.

Решение:

а) 5⁶ : 5⁴ = 5^{6 – 4} = 5² = 25;

б) 10¹⁵ : 10¹² = 10^{15 – 12} = 10³ = 1000;

в) 0,5¹⁰ : 0,5⁷ = 0,5^{10 – 7} = 0,5³ = 0,125;

г) ;

д) 2,73¹³ : 2,73¹² = 2,73^{13 – 12} = 2,73;

е) .

3. Используя правила умножения и деления степеней, упростите выражение.

а) x⁸ ∙ x³ : x⁵; б) x²⁰ : x¹⁰ ∙ x;

в) x⁷ : x³ : x³; г) x¹⁴ : x⁹ ∙ x⁵.

Решение:

а) x⁸ ∙ x³ : x⁵ = x^{8 + 3} : x⁵ = x¹¹ : x⁵ = x^{11 – 5} = x⁶;

б) x²⁰ : x¹⁰ ∙ x = x^{20 – 10} ∙ x = x¹⁰ ∙ x = x^{10 + 1} = x¹¹;

в) x⁷ : x³ : x³ = x^{7 – 3} : x³ = x⁴ : x³ = x^{4 – 3} = x;

г) x¹⁴ : x⁹ ∙ x⁵ = x^{14 – 9} ∙ x⁵ = x⁵ ∙ x⁵ = x^{5 + 5} = x¹⁰.

4. № 417.

Решение:

а) = 8⁶ : 8⁴ = 8^{6 – 4} = 8² = 64;

б) = 0,8⁷ : 0,8⁴ = 0,8^{7 – 4} = 0,8³ = 0,512;

в) = (–0,3)⁵ : (–0,3)³ = (–0,3)^{5 – 3} = (–0,3)² = 0,09;

V.Физкультминутка

VI. Контроль и самоконтроль знаний и способов действий

Самостоятельная работа (по вариантам) Раздается каждому учащемуся, решение можно выполнять прямо на листочках. После выполнения работы проверяются в классе, и каждый ученик оценивает себя сам.

VII. Включение в систему знаний и повторение.

СЛАЙДЫ 12-13

Задача «определить во сколько раз масса земного шара больше массы всего окружающего его воздуха».

Решение. Чтобы убедиться, насколько облегчаются практические вычисления при пользовании степенным изображением больших чисел, выполним такой расчет: определим, во сколько раз масса земного шара больше массы всего окружающего его воздуха.

На каждый кв. сантиметр земной поверхности воздух давит, мы знаем, с силой около килограмма. Это означает, что вес того столба атмосферы, который опирается на 1 кв. см, равен 1 кг. Атмосферная оболочка Земли как бы составлена вся из таких воздушных столбов; их столько, сколько кв. сантиметров содержит поверхность нашей планеты; столько же килограммов весит вся атмосфера. Заглянув в справочник, узнаем, что величина поверхности земного шара равна 510 млн. кв. км, т. е. 51 × 10⁷ кв. км.

Рассчитаем, сколько квадратных сантиметров в квадратном километре. Линейный километр содержит 1000 м, по 100 см в каждом, т. е. равен 10⁵ см, а кв. километр содержит (10⁵)² = 10¹⁰ кв. сантиметров. Во всей поверхности земного шара заключается поэтому

51 × 10⁷× 10¹⁰ = 51 × 10¹⁷

кв. сантиметров. Столько же килограммов весит и атмосфера Земли. Переведя в тонны, получим:

51 × 10¹⁷ : 1000 = 51 × 10¹⁷ : 10³=51 × 10^17-3 = 51 × 10¹⁴.

Масса же земного шара выражается числом

6 × 10²¹ тонн.

Чтобы определить, во сколько раз наша планета тяжелее ее воздушной оболочки, производим деление:

6 × 10²¹ : 51 × 10¹⁴ ≈ 10⁶,

т. е. масса атмосферы составляет примерно миллионную долю массы земного шара

VIII.Рефлексия учебной деятельности на уроке, подведение итогов.

– Дайте определение степени с натуральным показателем.

– Сформулируйте правило возведения отрицательного числа в четную степень, в нечетную степень.

– Какой знак имеет результат возведения любого числа в квадрат?

– Сформулируйте правила сложения и умножения степеней с одинаковыми основаниями.

– Чему равно значение выражения 2⁰; (–1)¹?

Заполнить пункты «знаю» и «умею» таблицы целеполагания.

Заполнение листов самоконтроля.

Пожалуйста, поделитесь  своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова

1. Сегодня на уроке я закрепил…..

2. На что мне нужно обратить внимание…….

IX. Информация о домашнем задании.

СЛАЙД 14

П.16 выучить правила.

Решить задания: I уровень: №404, 408, 415, 418; II уровень: №406, 412, 419 (б,г,е), 533.

Выразить массу Земли и Луны в различных единицах массы (в граммах, килограммах, в центнерах и тоннах)

Приложение 1.

Лист целеполагания

Ф.И.___________________________________________

Приложение 2.

Лист самоконтроля

Ф.И.________________________________________________

Учитель математики

МБОУ «СОШ№4» г.Красноперекопск, Республика Крым

Гришко Елена Михайловна

Проверка домашнего задания

№ 388 .

Решение:

а) –1 3 + (–2) 3 = –1 + (–8) = –9;

б) –6 2 – (–1) 4 = –36 – 1 = –37;

в) –8 3 + (–3) 3 = –512 + (–27) = –539;

г) 10 – 5 · 2 4 = 10 – 5 · 16 = 10 – 80 = –70;

Устная работа №1

Ответьте на вопросы:

• Что такое степень?
• Что такое степень?

Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1, называется выражение а п ,

равное произведению n множителей, каждый из которых равен а .

Степенью числа а с показателем 1 называется само число а .

a 1 = a

Устная работа №1

2 . Чему равна степень отрицательного числа с четным показателем?

Степень отрицательного числа с четным показателем – положительное число .

5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625

3. Чему равна степень отрицательного числа с нечетным показателем?

Степень отрицательного числа с нечетным показателем – отрицательное число.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

Однако, −5 4 = −625

4

Устная работа №1

4.Что получится при возведении нуля в степень с натуральным показателем?

При возведении в степень с натуральным показателем нуля получается нуль.

0 n = 0 ,

где n -натуральное число

5

Устная работа №2

9

- 49

1) 3² = 5) – ( - 7)²=

2) = 6) – (- 2)³ =

3) (–0,1) 4 = 7) 0 16 =

4) = 8) (–1) 18 =

6,25

8

0,0001

0

- 1,8

1

Устная работа №3

Проверочная работа:

а)

– (0,5) 2 ; б)3000 · (0,2) 3 – (–2) 6 .

0,5

- 40

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Работа в парах

Вычислите:

1000000

8

256

- 81

- 1

4

19683

32

?

?

Тема урока:

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями.

Цели урока:

• вывести правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями;
• научиться применять правила деления степеней с одинаковыми основаниями;
• научиться возводить число в степень с нулевым показателем.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

9

Новые сведения

Свойство 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Свойство 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Новые сведения

Определение . Степень числа а , не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

где а≠0

a 0 = 1,

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Повторение

Задача

Определить во сколько раз масса земного шара больше массы всего окружающего его воздуха.

Повторение

Решение. На каждый 1 см² земной поверхности воздух давит, с силой около килограмма.

Величина поверхности земного шара равна:

510 000 000 км²=51· 10 7  км²; 1 км²= (100 000см)²;

51 · 10 7 · 10 10 см²= 51·10 17 см².

Масса атмосферы Земли:

51·10 17 кг=51·10 17 : 1000 т =51·10 17 : 10³ т = 51·10 14 т

Масса земного шара выражается числом:

6· 10 21 т

Узнаем во сколько раз масса нашей планеты тяжелее ее воздушной оболочки:

6·10 21 : 51 · 10 14 ≈ 10 6

Ответ: ≈ 1 000 000

Домашнее задание

П.16 выучить правила.

Решить задания:

I уровень: №404, 408, 415, 418;

II уровень: №406, 412, 419 (б,г,е), 533.

Дополнительное задание:

Выразить массу Земли и Луны в различных единицах массы (в граммах, килограммах, в центнерах и тоннах)

14

Источники информации

• Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского.- М.: Просвещение, 2014
• Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворовой/авт.-сост. Т.Ю.Дюмина, А.А.Махонина. – Волгоград: Учитель, 2011
• Статья «Сколько вести воздух?» http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st004.shtml
• Шаблон для презентации Савенко Е.М.: http://pedsovet.su/load/412-1-0-13709
• Изображение земного шара : http://t-z-n.ru/preokean/photo/intok2.jpg
• Изображение восклицательного знака: http://svg12.edu.27.ru/files/uploads/images/_kniga_dlya_roditelya_2yq14j77a5v3hgenubrgne.jpg