Вычисление площади плоской фигуры с помощью интеграла

МБОУ с.Новочуртах.

11 класс

Преподаватель математики – Асилдаров Я.А..

Цель урока – повторить и обобщить знания по данной теме.

На доске:

«Обобщение понятия часто бывает полезным

для достижения его сущности»

А.Н.Колмогоров

1этап (организационный момент)

Сегодня у нас с вами обобщающий урок по теме : «Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла».

Эпиграфом к нему я взяла слова известного русского математика Андрея Николаевича Колмогорова : «Обобщение понятия часто бывает полезным для достижения его сущности». Прямое вычисление площадей некоторых фигур проделывали ещё математики Древней Греции и Рима. Эти задачи носили название – задачи о квадратуре.

Классической задачей является задача о квадратуре круга. Она заставила задуматься ни один ум . И лишь в XVII веке Ньютону и Лейбницу удалось открыть общий способ вычисления площадей плоских фигур. Этим способом и пользуемся и сегодня.

Начнём урок.

2 этап (повторение основных теоретических фактов)

а) Ранее мы с вами делали опорные конспекты по этой теме, теперь сложим всё воедино.

В 4 основных случаям нахождения площадей, представленных на доске справа, записать условия, накладываемые на функции, определить, чем ограничены данные фигуры и записать формулы вычисления площадей.

(1 человек самостоятельно у доски)

б)В это время повторим теорию. Внимательно слушайте вопросы. Я жду чётких ответов.

1.Что называется криволинейной трапецией?

(Фигура,ограниченная графиком непрерывной, не меняющей знака на [a;b] функции, отрезком [a;b] оси ОХ , прямыми х=a и х= b ).

2.Формула Ньютона-Лейбница.

(Интеграл от а до b функции эф от икс дэ икс называется приращение функции эф большое от х на отрезке от а до b, где эф большое от х есть первообразная для функции эф.

3.Каков алгоритм вычисления площади плоской фигуры , ограниченной заданными линиями.

( 1. Построить фигуру.

2. Найти пределы интегрирования.

3. Записать формулу вычисления площади через интеграл, используя 4 основных случая.

4. Вычислить интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.

5.Записать ответ.)

А теперь проверим выполнение задания на доске.

1 случай

Фигура ограничена графиком непрерывной, неотрицательной на [a;b] функции, отрезком [a;b] оси ОХ , прямыми х=a и х= b ,является криволинейной трапецией .

2 случай

Фигура ограничена графиком непрерывной, неположительной на [a;b] функции, отрезком [a;b] оси ОХ , прямыми х=a и х= b ,является криволинейной трапецией .

3 случай

Фигура ограничена графиками непрерывных на [a;b] функций, при чём fg на [a;b], прямыми х=a и х= b ,её площадь является либо суммой (в случае когда f и g разного знака на [a;b]) площадей криволинейных трапеций,либо разностью(в случае когда f и g одного знака на [a;b])

4 случай

Фигура ограничена графиками непрерывных, неторицательных на [a;b] функций, отрезком [a;b] оси ОХ ,прямыми х=a и х= b ,её площадь является суммой площадей криволинейных трапеций.Где с-абсцисса точки пересечения графиков функций f и g.

3 этап(Совместная устная работа.Отработка алгоритма)

На доске слева построены различные фигуры .Необходимо определить,чем ограничена площадь и записать формулу для её вычисления.

1 рис.

Площадь ограничена графиком функции у=2sinx, отрезком [0; ] оси ОХ, прямой х= .Фигура является криволинейной трапецией и её площадь вычисляется по формуле

2 рис.

Площадь ограничена графиками функций у₁=-(х-2)²+2 и у₂=1, является

разностью площадей криволинейных трапеций и вычисляется по формуле

4 этап (Решение задачи с параметром)

Переходим к 4 этапу нашего урока.

Решим задачу с параметром, предлагаемую на вступительных экзаменах в ВУЗ.

ЗАДАЧА.

При каком а площадь, ограниченная линиями у=х², х=а , х=а+1, у=0 принимает наименьшее значение. Найдите эту площадь.

Решение:

Так как фигура ограничена графиком неотрицательной ,непрерывной функции, осью абсцисс, прямыми х=а, х=а+1, то она является криволинейной трапецией и её площадь вычисляется по формуле

Итак,

Рассмотрим квадратичную функцию у=х²+х+1/3

Её наименьшее значение достигается в вершине соответствующей параболы, т.е. при х=-1/2

Итак, при а=-1/2 площадь принимает наименьшее значение и равна

S= 1/12

Ответ :

При а=-1/2 площадь принимает наименьшее значение равное 1/12 кв.ед.

5 этап (индивидуальная работа по карточкам)

На следующем этапе мы перейдём к работе по карточкам.

Дабы, как сказал Лев Николаевич Толстой : «Ум человеческий только тогда понимает обобщение, когда он сам его сделал и проверил»

На карточках записаны варианты ответов и соответствующие им слоги, а на карточках повышенной сложности - целые слова.

При правильном решении мы вместе получим с вами имя известного математика.

Если кто-то уже получил ответ, работает с дополнительными заданиями на обратной стороне карточки. В путь!

Примеры карточек даны в приложении.

Итак, на доске полученные вами слоги:

ГОТ НИЦ

ЛЕЙБ ГЕЛЬМ

ВИЛЬ ФРИД

На доску вывешивается портрет.

Готфрид Вильгельм Лейбниц

(1646-1716)-

немецкий математик, физик, философ,

создатель Берлинской академии наук.

Основоположник дифференциального и

Интегрального исчисления, ввёл знак

интеграла ∫.

«Предупреждаю,чтобы остерегались отбрасывать dx,- ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд».

Г.В.Лейбниц

Оценки за решение вы узнаете на следующем уроке, так как в 11 классе очень важно не только получить правильный ответ, но и записать его решение.

6этап (домашнее задание)

Запишем домашнее задание:

Повторить теорию.

Решить в тетради:

1 уровень- стр.298 №275(а,г)

2 уровень – стр 298 №290

Уровень каждый определяет для себя сам.

7этап(дополнительное задание)

В оставшееся время (разворачивается крыло доски с готовым заданием)

хочу вернуться к проблеме квадратуры круга.

Задача на сообразительность.

Вычислите

Решение :

Так как данная фигура является полукругом, то её S = ½ пR² , т.е.

S = ½ па² , значит

До свидания. Урок прошёл плодотворно.

Приложение

I. Обучающая карточка, рассчитана на слабого учащегося.

Справа - решённое задание, слева - необходимо решить аналогичную задачу.

С помощью интеграла вычисли площадь фигуры, ограниченную линиями

у= х² и у = 4 у= х² и у = 1

Решение: Решение:

1. Построим фигуру:

1. Найдём пределы интегрирования:

х² = 4

х = 2 или х = -2

3.

Выбери ответ.

II. Карточка, рассчитана на среднего учащегося.

С помощью интеграла вычисли площадь фигуры, ограниченную линиями

y = sin , y = √x, x = п и выбери ответ.

III. Карточка, рассчитана на сильного учащегося.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

у= 8х - 2х², касательной к этой параболе в точке с абсциссой х=1 и прямой х=0.

Выберите ответ.

Учебник : А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын, Б.М.Ивлев,С.И.Шварцбурд,М.:Просвещение

Это заключительный урок по данной теме. Навыки и умения выработаны. Далее будут разбираться другие приложения интеграла.

Цели урока

– обобщить и привести в порядок (собрать воедино) полученные знания,

- рассмотреть решение нестандартной задачи, делая акцент на оформление её решения,

- каждому учащемуся определить степень усвоения данного материала

Организационный момент урока даёт возможность плавно войти в тему, прочувствовать цель урока и просто настроиться на рабочий лад.

Заметна алгоритмизация всей темы. 4 основных случая решения, выработанные учащимися ранее должны быть зафиксированы в «долговременной» памяти. Для этого на уроках используются:

метод постоянного повтора, запись опорного конспекта (легко воспроизводимого в разных вариантах, а на данном уроке – полностью),

активизация зрительной памяти (на доске весь урок записан конспект, ярко выделенный цветным мелом), требовательность учителя к своей речи и речи учащихся.

Весь урок явно разбит на блоки.

Смена видов деятельности, не даёт уставать. При этом не потеряна взаимосвязь между решаемыми задачами. От простого к сложному, от сложного к нестандартному.

Пик урока завершился. Дети устают, необходимо «искусственно» заинтересовать их новой проблемой.

И начинается новый этап – индивидуальная работа по карточкам, но с целью узнать имя великого математика. Каждый занят индивидуальным заданием, но в тоже время, он частица в достижении общей цели. И работа, совершаемая для удовлетворения какого-либо интереса ни столь утруждает.

Работа по карточкам – дело тонкое. Одни их катастрофически бояться,

другие , наоборот , готовы весь урок работать самостоятельно. Поэтому карточки раздаются с учётом не только знаний учащегося, но их индивидуальных особенностей.

Цель достигнута, имя математика известно. И каждый может подвести итог своей работы. Учитель оценит их позже, ведь работа в 11 классе предполагает, не только правильный ответ, но и логическое решение.

Домашнее задание разбито на два уровня, и каждый выбирает для себя свой.

В оставшееся время можно отдохнуть, решив задачу на сообразительность. Оказывается можно вычислять интегралы, не имея о них никакого представления.

Цель урока достигнута. Дети удовлетворены своими знаниями.

10