Задачи №21 ЕГЭ математика (база)

Базовые задания ЕГЭ №21

Автор: Бебикова Светлана Николаевна

Учитель математики МБОУ СШ №31

Сс

Задачи на смекалку

- Задачи о числах

-Планиметрия

-Текстовые задачи

Задачи о числах

№

задача

решение

1

Про натуральные числа A , B и С известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на A , потом прибавили к полученному произведению B и вычли С . Получилось 186. Какое число было загадано?

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 72, во втором  — 81, в третьем  — 91, а сумма чисел в каждой строке больше 13, но меньше 16. Сколько всего строк в таблице?

2

3

Среднее арифметическое шести различных натуральных чисел равно 8. Среднее арифметическое этих чисел и седьмого числа равно 9. Чему равно седьмое число?

4

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 11. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 2?

Планиметрия

№

задача

решение

1

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

2

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 15 и 20. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

3

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 2 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

4

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Текстовые задачи

№

задача

решение

За первый день улитка поднимется на 3 м и опустится на 2 м. То есть к началу следующего дня она окажется на высоте 1 м. На следующий день улитка вновь проползёт 3 м и за ночь опустится на 2 м. Таким образом, через семь дней и семь ночей улитка окажется на высоте 7 м, и за восьмой день поднимется до вершины дерева на высоту 10 м.

Улитка за день залезает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка поднимется на вершину дерева?

1

Ответ: 8.

или

1)3м-2м=1м(за 1 день)

2) 10м-3м=7м( за семь дней)

3) следовательно на 8-ой день достигнем 10 метров

Ответ: 8

Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий  — 14.

2

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым  — 5 кусков, а если по зелёным  — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

Если распилить палку по желтым  — 5 кусков, следовательно, линий  — 4.

Если распилить по зеленым  — 7 кусков, линий  — 6.

Всего линий: 14 + 4 + 6  =  24 линии,

следовательно, кусков будет 25.

3

В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Груздей максимум 16 (иначе можно было бы взять 17 груздей и условие бы не выполнилось). Рыжиков максимум 24 (иначе можно было бы взять 25 рыжиков в нарушение условия).

Известно, что в корзине всего 40 грибов. Поэтому груздей ровно 16, а рыжиков ровно 24.

4

На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?

Двенадцать параллелей разделили глобус на 13 частей, следовательно, 13 · 22  =  286  — на столько частей разделят глобус 12 параллелей и 22 меридиана.

Меридиан  — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель  — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Текстовые задачи

№

задача

решение

5

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B  — 35 км, между A и C  — 20 км, между C и D  — 20 км, между D и A  — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в километрах.

Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния соответствовали данным в условии. Всё хорошо, кроме расстояния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, подвинем D и поставим между B и A нужным образом. Тогда между B и C будет 15 км.

6

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

Пусть Никола сделал сначала x операций второго типа, а затем y операций первого типа. Тогда имеем:

1)  за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

2)  за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

Тогда серебряных монет стало на больше, то есть на 10 меньше.

У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?

Порядок совершения операций не важен. Важно только, что начать Никола должен был с операции второго типа, потому что у него были только серебряные монеты. Потом он мог делать операции первого и второго типа в любом порядке, но при этом операции первого типа - только по мере появления у него золотых монет.

7

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7  =   66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этаже в подъезде не меньше 9 квартир.

Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего 9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию.

Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в первых шести  — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже.

Если бы на каждой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы 11 · 7 · 6  =  462 квартиры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию.

Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

Ответ: 5.

или

Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7  =   66 квартир. Дом семиэтажный, на каждом этаже одинаковое количество квартир, следовательно, число квартир в подъезде должно быть кратно 7.

Проверим числа, не меньшие 66 и кратные 7.

Пусть в подъезде 70 квартир, тогда на каждом этаже 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в первых шести  — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже.

Убедимся, что другие варианты невозможны. Если в подъезде 77 квартир или больше, то в первых шести подъездах оказалось бы 77 · 6  =  462 квартиры или больше, то есть 462 квартира не будет находиться в седьмом подъезде, что противоречит условию.

Следовательно, Саша живет на пятом этаже.

8

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?

Число квартир, этажей и подъездов может быть только целым числом. Заметим, что число 110 делится на 2, 5 и 11. Следовательно, в доме должно быть 2 подъезда, 5 квартир на этаже и 11 этажей.

Ответ: 11.

Текстовые задачи

№

задача

решение

9

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с чётными координатами, поскольку число прыжков, которое он делает,  — чётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает шести. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.

10

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр  — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?

Последовательность цен за метр  — арифметическая прогрессия с первым членом a1=4200 и разностью d=1300. Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

В нашем случае имеем:

Тем самым, цена работы составляет 117 700 руб.

Ответ: 117 700.

11

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

12

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка кваса объёмом 1 литр стоит 36 рублей, объёмом 2 литра  — 66 рублей. Сколько рублей будет стоить бутылка кваса объёмом 1,5 литра?

Пусть стоимость бутылки x , стоимость кваса за литр y . Имеем систему уравнений:

Тогда бутылка кваса объёмом 1,5 литра будет стоить 6 + 30 · 1,5 = 51 рубль.

Ответ: 51

Текстовые задачи

№

задача

решение

13

Клетки таблицы 6х6 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 30 пар соседних клеток разного цвета и 16 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?

Угловые клетки имеют по 2 соседа, таких клеток в таблице 4, значит, всего пар 2 · 4 = 8.

Крайние клетки (не угловые) имеют по 3 пары, таких клеток 16, значит, всего пар 16 · 3 = 48.

Все остальные клетки имеют по 4 пары, таких клеток 36 − 4 − 16  =  16, то есть 64 пары.

Всего имеем пар 8 + 48 + 64 = 120.

В приведенных расчетах все пары взяты дважды (так как учитывались все клетки). Таким образом, уникальных пар 120 : 2 = 60. Поэтому пар белого цвета 60 − 30 − 16  =  14.

14

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

От каждого столба отходит по 4 провода, следовательно, всего будет 10×4=40

соединений. Заметим, что каждые два столба связаны одни проводом, поэтому между этими десятью столбами будет протянуто всего 40/2=20

проводов.

15

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами  — 328, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Из числа 328 можно составить числа 382, 238, 283, 832, 823. Числа 238 и 283 не подходят, поскольку они меньше числа 328. Номер первой страницы после выпавших листов должен быть нечётным, поскольку номер последней страницы перед выпавшими листами чётный. Следовательно, нам подходит только число 823. Вычтем из числа 823 одну страницу, поскольку страница 823 не выпала, а является первой страницей после выпавших листов. Теперь можно найти количество выпавших листов: (823-1-328)/2=247

Текстовые задачи

№

задача

решение

Больше всех партий сыграл Коля, следовательно, было сыграно не менее 21 партии.

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 10 партий, а Коля  — 21. Сколько партий сыграл Лёша?

16

В одной из первых двух партий должен был участвовать Миша, значит, было сыграно не более 2×10+1=21 партии.

Значит, Коля участвовал в каждой сыгранной партии. Таким образом, Лёша сыграл 21 − 10  =  11 партий.

Ответ: 11.

17

На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 50 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

Обозначим через x расстояние от начала ленты до синей полоски, через y   — расстояние от синей полоски до красной полоски, через z   — от красной полоски до конца ленты. Из условия, что если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой получим уравнение х+у-z=30

Из условия что если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 50 см длиннее другой получим уравнение х+z-y=50

Решим систему уравнений:

х+у-z=30

х+z-y=50

y=40

Следовательно, расстояние между красной и синей полосками равно 40 см.

18

Взяли несколько досок и распилили их (за один распил можно распилить только одну доску). Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли?

Каждый поперечный распил добавляет один кусок к уже имеющимся, следовательно, изначально было 16 − 11  =   5 досок.

Ответ: 5.

Разложим число 690 на множители так, чтобы получившиеся множители состояли только из чисел 2, 3, 4, 5, или чисел в десятичной записи которых есть только цифры 2, 3, 4, 5, и общее количество цифр в произведении было равно пяти: 690  =  2 · 5 · 23 · 3. Следовательно, учитель поставил Пете отметки 2, 5, 2, 3 и 3. Среднее арифметическое этих оценок:

19

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 690. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённая по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5  — до 5; а 2,8  — до 3.)

(2+5+2+3+3)/5=3

20

В доме всего пятнадцать квартир с номерами от 1 до 15. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в квартирах с 11-й по 15-ю включительно живёт суммарно 13 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

В квартире могут жить один, два или три человека. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, следовательно, в 10 квартирах живёт по одному человеку, а в оставшихся двух квартирах живёт суммарно 4 человека. В квартирах с 11-й по 15-ю включительно живёт суммарно 13 человек, следовательно, в трёх квартирах живёт по три человека, а в оставшихся двух живёт суммарно 4 человека. Рассмотренные множества квартир пересекаются по квартирам 11 и 12, значит, именно в квартирах 11 и 12 в сумме живёт 4 человека. Таким образом, получаем, что всего в доме живёт 10 · 1 + 4 + 3 · 3  =  23 человек.

Ответ: 23.

Текстовые задачи

№

задача

решение

21

Четыре страны поставили 4 · 5  =  20 подписей. А оставшиеся шесть стран поставили 6 · 3  =  18 подписей. Ясно, что договоров в два раза меньше, чем общее количество подписей, то есть всего было подписано (20 + 18)/2  =  19 договоров.

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести  — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?

Ответ: 19.

22

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 3 большие фишки, отдав 10 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 65. Сколько обменов он совершил?

За один обмен количество фишек у Пети уменьшается на 10 − 3  =  7 штук. Следовательно, Петя совершил (100 − 65)/7  =  5 обменов.

Маша и Медведь съели варенья поровну, следовательно, Маша потратила на поедание варенья в три раза больше времени, чем Медведь. Всё то время пока Маша ела варенье, Медведь ел печенье, причём в три раза быстрее, чем ест печенье Маша, то есть Медведь съел в 3 · 3  =  9 раз больше печенья. Пусть x   — количество печений, которое съела Маша, тогда получаем уравнение: x  + 9 x   =  120, откуда x   =  12. Значит, Медведь съел 12 · 9  =  108 печений.

23

Маша и Медведь съели 120 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь  — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Ответ: 108.

24

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: оранжевая, белая и синяя. Слева от синей вазы 15 роз, справа от белой вазы 11 роз. Всего в вазах 23 розы. Сколько роз в оранжевой вазе?

Выясним относительное расположение ваз с розами. Будем обозначать вазу первой буквой ее цвета. Возможны 6 вариантов: С−Б−О, С−О−Б, Б−С−О, Б−О−С, О−Б−С и О−С−Б. Поскольку слева от синей вазы и справа от белой вазы есть цветы, варианты, начинающиеся с С или заканчивающиеся Б, не подходят. Остаются три возможности: Б−С−О, Б−О−С и О−Б−С.

Кроме того, не подходит вариант, когда синяя ваза стоит правее белой: в этом случае справа от белой вазы больше 11 роз. Остается единственный вариант Б−О−С. Будем также обозначать количество роз в вазе соответствующей буквой. Тогда получим систему уравнений:

Б+О=15

О+С=11

Б+О+С=23

решив систему получаем Б=12, С=8, О=3.

Таким образом, в оранжевой вазе 3 розы.

Ответ: 3.

Текстовые задачи

№

задача

решение

25

В доме всего 14 квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее 1 и не более 4 человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в квартирах с 11-й по 14-ю включительно живёт суммарно 12 человек. Сколько всего человек живут в этом доме?

В квартире могут жить один, два, три или четыре человека. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, следовательно, в 10 квартирах живёт по одному человеку, а в оставшихся двух квартирах живёт суммарно 4 человека. В квартирах с 11-й по 14-ю включительно живёт суммарно 12 человек, следовательно, в двух квартирах живёт по два человека, а в оставшихся живёт суммарно 8 человек. Рассмотренные множества квартир пересекаются по квартирам 11 и 12, значит, именно в квартирах 11 и 12 в сумме живёт 4 человека. Таким образом, получаем, что всего в доме живёт 10 · 1 + 4 + 4 · 2  =  22 человека.

Ответ: 22.

26

27

0 (так как ученик, по крайней мере, один раз ошибся). Тогда общее число набранных очков, равно: n*7-m*9=56 откуда n=(56+9*m)/7 По заданию нужно выбрать такое целое m, чтобы получить целое n. Выберем значение m=7, так как 9∙7:7 = 9 – целое число и 56:7 = 8 – целое число. Тогда:n=(56+9×7)/7=8+9=17 Проверяем:17×7-7×9=7*(17-9)=56 верно. Ответ: 17. " width="640"

Задача 1

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Решение:

Обозначим через n число верных ответов, а через m – число неверных, причем m0 (так как ученик, по крайней мере, один раз ошибся). Тогда общее число набранных очков, равно: n*7-m*9=56

откуда n=(56+9*m)/7

По заданию нужно выбрать такое целое m, чтобы получить целое n. Выберем значение m=7, так как 9∙7:7 = 9 – целое число и 56:7 = 8 – целое число. Тогда:n=(56+9×7)/7=8+9=17

Проверяем:17×7-7×9=7*(17-9)=56

верно.

Ответ: 17.

Задача

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов . За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков , за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков . Сколько верных ответов дал ученик , набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Решение:

Краткая запись:

(+) 7баллов

(-) -9 балов

(0) 0 баллов

Всего 56 очков

Задача

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов . За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков , за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков . Сколько верных ответов дал ученик , набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Решение:

1)56+9=65- не делится на 7 5)92+9=101

2)65+9=74 6)101+9=110

3) 74+9=83 7)110+9=119-кратно 7-ти

4)83+9=92 8)119/7=17-верных ответов

Такой способ доступен, понятен и легко запомнят учащиеся.

вс1 Разложим на простые множители число 105 105=5×3×7 так как 7531 следовательно этажей-7, квартир -5, и подъездов -3 Ответ :7 " width="640"

Задача 2

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей , а на всех этажах одинаковое число квартир . При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов , а число подъездов больше одного . Сколько этажей в доме , если всего в нём 105 квартир?

Решение

Пусть а-этажей, в-квартир, с-подъездов. Тогда по условию задачи: авс1

Разложим на простые множители число 105

105=5×3×7

так как 7531 следовательно этажей-7, квартир -5, и подъездов -3

• Ответ :7

Задача 3

Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м . Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?

Решение

1)4-3=1 м- за 1 день

2)10-4=6 м -за 6 дней

Следовательно на 7 день достигнем 10 метров