Задачи на сплавы и смеси.

• масса раствора (смеси, сплава);

• масса вещества;

• доля (% содержание) вещества.

При решении большинства задач этого вида, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Этапы решения задачи:

1. Знакомство учащихся с текстом задач и выделение основных компонентов в них. Заполнение таблицы.

Таблица для решения задач имеет следующий вид:

2. Составление уравнения и его решение.

3. Анализ полученных данных, ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим решение задач с применением таблицы.

Задача 1. В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Решение:

Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:

0,01х·5 = 0,8·2; 0,05х = 1,6; х = 1,6:0,05; х = 32.

Ответ: 32 %.

Задача 2. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?

Решение:

Анализируя таблицу, составляем уравнение :

0,08(200 + х) = 0,7·200; 16 + 0,08х = 140; 0,08х = 124; х = 1550.

Ответ :1,55 кг воды.

Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.

Решение:

Анализируя таблицу, получаем :

0,32х/2х * 100% = 16 %

Ответ : 16 %.

Задача 4. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Решение:

Пусть первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,6x кг меди, а второй сплав взят в количестве y кг, тогда он будет содержать 0,45y кг меди. Соединив два этих сплава, получим сплав меди массой x + y, по условию задачи он должен содержать 0,55(x + y) меди. Следовательно, можно составить уравнение: 0,55(x + y) = 0,6 х + 0,45у;

0,55 х + 0,55 у = 0,6 х+ 0,45 у; 0,05 х = 0,1 у . Выразим x через y: х = 2 у.

Следовательно, отношение, в котором нужно взять сплавы 1:2.

Ответ: 1:2

Задача 5. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва.

Ре­ше­ние:

Пусть масса пер­во­го спла­ва x кг. Тогда масса вто­ро­го спла­ва (x + 4) кг, а тре­тье­го — (2x + 4) кг. В пер­вом спла­ве со­дер­жит­ся 0,05x кг меди, а во вто­ром — 0,13(x + 4) кг. По­сколь­ку в тре­тьем спла­ве со­дер­жит­ся 0,1(2x + 4) кг меди, со­ста­вим и решим урав­не­ние: 0,1(2x + 4) = 0,18 х + 0,52; 0,02 х = 0,12; х = 6.

От­ку­да масса тре­тье­го спла­ва равна 16 кг.

Ответ:16 кг.

Задача 6. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10 % рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 12 % рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние:

Пусть взяли х г 10-про­цент­но­го рас­тво­ра, тогда взяли и х г 12-про­цент­но­го рас­тво­ра. Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра — масса ве­ще­ства, раз­делённая на массу всего рас­тво­ра.  Кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна 0, 22 х / 2х или 11%.

 Ответ: 11%.

Задача 7. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 4 кг и 16 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 57% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 60% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ре­ше­ние:

Пусть кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра – х %, кон­цен­тра­ция вто­ро­го рас­тво­ра – y %. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний со­глас­но усло­вию за­да­чи:

0,57 * 20 = 0,04 х + 0,16у, х = 65,

0,6 * 8 = 0,04х + 0,04 у; у = 55.

Таким об­ра­зом, в пер­вом рас­тво­ре со­дер­жит­ся 0,65 * 4 = 2,6 ки­ло­грам­ма кис­ло­ты

 Ответ: 2,6

Задача 8.  Сме­шав 60% и 30% рас­тво­ры кис­ло­ты и, до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20% рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90% рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 70% рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60% рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ре­ше­ние:

Пусть х кг и у кг — массы пер­во­го и вто­ро­го рас­тво­ров, взя­тые при сме­ши­ва­нии. Тогда (х + у +5) кг — масса по­лу­чен­но­го рас­тво­ра, со­дер­жа­ще­го (0,6 х + 0,3у) кг кис­ло­ты. Кон­цен­тра­ция кис­ло­ты в по­лу­чен­ном рас­тво­ре 20 %, значит 0,2(х + у +5) %. Концентрация кислоты во втором растворе 70 %, значит 0,7 ( х + у + 5) = 0,6х + 0,3 у + 4,5. Решим си­сте­му двух по­лу­чен­ных урав­не­ний:

0,2(х + у +5) = 0,6 х + 0,3у,

0,7 ( х + у + 5) = 0,6х + 0,3 у + 4,5;

0,4 х + 0,1 у = 1, х =2,

0,1 х + 0,4 у = 1; у = 2.

Ответ: 2 кг.

Задача 9. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Решим уравнение: 0, 1 х + 0,3(200-х )= 0,25*200; х = 50.

Масса второго сплава 150 кг.

Ответ: на 100 кг.

 Задача 10. Имеется два куска слитка олова и свинца, содержащие 40% и 60% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 граммов сплава, содержащего 45% олова?

Решение:

Решим уравнение: 0, 4 х + 0,6(600-х )= 0,45*600; х = 450.

Ответ:450 кг и 150 кг.

Задача 11.  Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг, содержит 45% меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы получить новый сплав, содержащий 60% меди?

Решение:

Получаем уравнение: 0, 45 х +х=0,6(36 + х), х = 13,5

Ответ: 13,5 кг

Задача 12. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.

Решение:

Итак, получаем систему уравнений :

Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.

Задачи для самостоятельного решения:

13. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 10 кг и 16 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 55% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 61% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 8,7

14. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 40 кг и 30 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 73% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 72% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

 Ответ: 19,5

15. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 40 кг и 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 33% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 47% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 2.

16. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 24 кг и 26 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 39% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 40% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 15,6

17. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 30 кг и 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 81% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 83% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

Ответ: 18,6

18. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 22 кг и 18 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 32% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 30% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 11

19. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 30 кг и 42 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 40% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 37% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

20. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 48 кг и 42 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 42% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 40% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

21. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 95-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

 Ответ: 58.