Задачи о точках с рациональными координатами

В результате анализа дерева ПТ возникли ряд интересных задач о пифагоровых треугольниках с целочисленными значениями сторон. Решение этих задач может найти практическое использование в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах. Y М(x, y ) Z y 0 X x Рис. 1 Точка в прямоугольной системе координат Считаем, что координаты точки М имеют целочисленные значения. Задача 1 Имеем массив ПТ с x и y. Известно, что в этом массиве имеются такие ПТ, у которых при одинаковых значениях x имеют место разные пары значений y и z. Требуется определить метод нахождения ПТ с одинаковыми значениями x Значения X могут быть четными или нечетными. Для четных значений имеем = 2m2 + 2mn= 2m(m + n ), тогда y = n2 + 2mn = n (n + 2m ) ( 1 ) Для нечетных значений имеем = n2 + 2mn = n (n + 2m ), тогда y = 2m2 + 2mn = 2m(m + n ) ( 2 ) При z = n2 + 2mn + 2m2 = ( n + m )2 + m2 ( 3 ) . Пусть ( J ) x = 2m2 + 2mn, следовательно ( → ) x = 2m(m + n ), y = n (n + 2m ). Рассмотрим ПТ( 4, 3, 5 ). Здесь x = 4 = 2∙ 1∙( 1 + 1 ) → m = 1, n = 1. Других вариантов, представления в виде двух целых сомножителей, нет. Вывод: Других ПТ с x = 4 нет. . На втором уровне дерева ПТ находятся три ПТ, а именно ПТ1( 120, 119, 129 ), .1. J имеем ПТ1( 120, 119, 169 ). Здесь x = 120 = 2∙ 60 → = 60, Число 60 имеет следующие варианты в виде двух целочисленных сомножителей 60 = 1∙60 = 2∙ 30 = 3∙20 = 4∙15 = 5∙12 = 6∙10. Итого имеем 6 ПТ с x = 120. Определим эти ПТ. .1.1. J x = 2∙ 1∙ 60. По формуле ( 1 ) x = 2m(m + n ) → m = 1, (m + n ) = 60 → n = 59. Определим элементы ПТ. = 2m2 + 2mn = 2 + 2∙1∙59 = 120, y = n2 + 2mn = 3481 + 118 = 3599, z = n2 + 2mn + 2m2 = 3599 + 2 = 3601→ ПТ1( 120, 3599, 3601 ). .1.2. Аналогично получим ПТ2( 120, 896, 904), ПТ3( 120, 391, 409), ПТ4( 120, 209, 241 ), ПТ5 ( 120, 119, 169 ), ПТ6( 120, 64, 136 ). Здесь имеют место как основные, так и не основные ПТ. Так, например, ПТ2( 120, 896, 904) и ПТ6( 120, 64, 136 ) - это не основные ПТ. Итого, при x = 120 получили 4 ПТ ПТ1( 120, 3599, 3601 ), ПТ3( 120, 391, 409), ПТ4( 120, 209, 241 ), ПТ5 ( 120, 119, 169 ). . J x имеет нечетные значения → x = n2 + 2 mn = n ( n + 2m ). Рассмотрим ПТ( 15, 8, 17 ). Здесь имеем x = 1∙ 15 = 3∙5 .1 J x = 1∙ 15 → n = 1, m = 7. Определим y = 2m2 + 2mn = 98 + 14 = 112 → z = 113. .2 J x = 3∙ 5 → n = 3, m = 1. Определим y = 2m2 + 2mn = 2 + 6 = 8 → z = 17 Таким образом при x = 15 имеем ПТ1( 15, 8, 17) и ПТ2( 15, 112, 113). Задача решена! Выводы 1. Число ПТ с четным целочисленным значением x равно числу вариантов в виде двух сомножителей. . Число ПТ с не четным целочисленным значением x равно числу вариантов представления x в виде двух сомножителей. . В числе полученных ПТ могут иметь место не основные ПТ. Пример 1. Как элемент основного ПТ, задано x = 93240. Необходимо определить все ПТ с этим значением x. Решение. 1. Определяем сомножители числа 93240. 93240 faktor → 23∙32∙5∙7∙37 . Заданное число x - четное. Поэтому определяем = 22∙32∙5∙7∙37 . Определяем все возможные пары сомножителей числа = 10∙4662 = 12∙3885 = 14∙3330 = 15∙ 3108 = 18∙ 2590 = 20∙ 2331 = 21∙2220 = 28∙1665 = 30∙ 1554 = 35∙1332 = 36∙1285 = 37∙1260 = 42∙ 1110 = 45∙1036 = 60∙ 777 = 63∙ 740 = 70∙ 666 = 74∙ 630 = 84∙ 555 = 90∙ 518 = 105∙ 444 = 111∙ 420 = 126∙ 370 = 140∙ 333 = 148∙ 315 = 180∙ 259 = 185∙ 252 = 210∙ 222 В результате получили 36 вариантов представления числа = 46620 в виде двух сомножителей, что соответствует утверждению В прямоугольной системе координат имеется 36 пифагоровых треугольников с целочисленными сторонами, при условии, что один из катетов равен числу 93240 . . Определим эти ПТ. Пусть x = 2m2 + 2mn = 93240 → → m = 15, ( m + n ) = 3108 → n = 3108 - 15 = 3093. Теперь, имея значения m и n , по формулам Системы mn параметров, вычислим значения всех элементов ПТ. x = 2m2 + 2mn = 93240, y = n2 + 2mn = 30932 + 2∙15∙3093 = 9659439, z = y + 2mn → z = 9659439 + 2∙152 = 9659889. Получили ПТ(93240, 9659439, 9659889 ). Аналогично определяются остальные 35 ПТ. Все 36 ПТ представлены в таблице 1. пифагоров треугольник сомножитель задача Таблица 1 mnxyzmnxyz14661993240217342439921734244013612599324015876731590265223308932405433560965433561043712239324015862311588969315537932402414915912414916094210689324012303361233864411651932401358390091358390414599193240107127110753215931993240869369518693700160717932406001296073296776493240603728646037293663677932405436315515697665393240443555514435564970596932404386564484569517193240268323192683248174556932403914244023761046529324021734144217343448447193240300969315081123873932401509308115093369904289324026022427642414331693240110887041108909610533993240186111208161153093932409659439965988911130993240164079188721182572932406707776670842412624493240121024152776202311932405433161543396114019393240912891304892121999324049279594928841148167932407732112112928163793240277144127730091807993240346819948130152493240241401624158161856793240292799772935129793240177299917754492101293240518493384 Из данных этой таблицы следует, что если в значениях m и n имеется общий множитель, то ПТ является не основным. Так, например, ПТ ( 93240, 6707776, 6708424 ) - это не основной ПТ. Если разделить каждый из элементов на 8, то получим основной ПТ(11655, 838472, 838553). Определим в таблице 1 не основные ПТ. Строка 2 . Здесь имеем m =2, n = 23308, x = 93240, y = 543356096, z = 543356104 . Запишем числа (x, y, z ) в виде произведения сомножителей → x = 93240 faktor = 23∙32∙5∙7∙37, y = 543356096 faktor = 26∙ 31∙47∙5827, z = 543356104 faktor = 23∙3∙29881. В этих числах общим множителем имеем 23 = 8. Сократим на 8 каждый из элементов, тогда получим основной ПТ, ПТ ( 11655, 67919512, 67919513 ). Из данных таблицы 1 следует, что при x = 93240 имеется 17 основных ПТ и 19 не основных ПТ. Значения m, записанные в виде кортежа, для основных ПТ имеют вид ( 1, 4, 5, 7, 9, 20, 28, 35, 37, 45, 60, 63, 111,140, 148, 180,185 ). Задача 1 Задано значение четное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x . указать методику определения всех ПТ при заданном четном числе x, определить все ПТ при разделении полученных данных на основные и не основные ПТ. Задача 2 Задано значение нечетное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x . В задаче 2 x = n2 + 2mn = n∙( n +2m ). Здесь x надо записать в виде двух сомножителей. При этом за n надо принять меньший множитель. Тогда больший множитель будет равен ( n +2m ). → m = . Далее методика, определения ПТ, как в примере 1. В заключении можно сделать два утверждения Утверждение 1 Для четных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = 2m(m + n ). При этом общее число ПТ, как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей . Утверждение 2 Для нечетных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = n (n + 2m). При этом общее число ПТ , как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей . Предложенная задача может найти применение в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.