Задачи по теме "Окружность и элементы"

Окружность и элементы

(по материалам сайта http://sdamgia.ru/ )

1. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 50°. Найдите величину угла OCD.

Ре­ше­ние.

Угол А и угол С вписанные углы и опираются на одну дугу BD. Следовательно, они равны.

Ответ: 50.

2. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 32°. Найдите величину угла OCD.

Ре­ше­ние.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 32°.

Ответ: 32° .

3. Найдите градусную меру угла MON , если известно, NP —диаметр, а градусная мера угла MNP равна 24°.

Ре­ше­ние.

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·24° = 132°.

Ответ:132°.

4. Найдите угол DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 148° и 72° соответственно.

Ре­ше­ние.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 148 − 72° = 140°, поэтому ∠DEF = 140:2=70°.

Ответ: 70°.

5. В окружности с центром O AC и BD —диаметры. Центральный угол AOD равен 100°. Найдите вписанный угол DBC. Ответ дайте в градусах.

Ре­ше­ние.

Угол DOC смежный с углом AOD, поэтому DOC = 180° − 100° = 80°. Центральный угол DOC и вписанный угол DBC опираются на одну дугу. Поэтому ∠DBC =1/2(∠DOC) =40°.

Ответ: 40°

6. (B7№311354) Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера ∠AOC равна 96°.

Ре­ше­ние.

Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 180°-96°=84°. Центральный угол равен дуге на которую он опирается, поэтому дуга AB = 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.

Ответ: 42°.

 7. Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 11:29. Найдите величину центрального угла, опирающегося на большую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Ре­ше­ние.

Дуги окружности относятся как 11:29, что в сумме дает 40 частей. Поэтому длина большей дуги составляет от всей окружности, тем самым, она равна . Так как угол AOB — центральный, то он равен той дуге на которую он опирается. Таким образом, .

Ответ: 261°.

8. В окружность вписан равносторонний шестиугольник. Найдите величину угла ASB.

Ре­ше­ние.

Построим радиуc AT. Центральный угол ATB равен 360°:6 = 60°. Угол ASB — вписанный и опирается на ту же дугу, поэтому он равен 60°:2 = 30°.

Ответ: 30°.

9. В окружность вписан равносторонний десятиугольник. Найдите величину угла XTC.

Ре­ше­ние.

Угол XTC — вписанный и опирается на диаметр XC. Таким образом, ∠XTC = 90°.

Ответ: 90°.

10. В угол величиной 64° вписана окружность, которая касается его сторон в точках M и D. На одной из дуг этой окружности выбрали точку K так, как показано на рисунке. Найдите величину угла MND.

Ре­ше­ние.

Угол MKD – вписанный, он равен половине дуги MD. Угол MOD – центральный, опирающийся на ту же дугу. Проведем радиусы MO и OD в точки касания.

Ответ: 58°

11. Точки M, T, K и E лежат на одной окружности так, что хорды MT и KE взаимно перпендикулярны, а угол KET равен 35°. Найдите величину угла MTE .

Ре­ше­ние

Треугольник KOE прямоугольный, сумма его острых углов равна 90°. Поэтому . Углы MTE и MKE опираются на одну дугу, поэтому эти углы равны. Таким образом .

 Ответ: 58°.

12. К окружности с центром в точке О проведены касательная MN и секущая MO. Найдите радиус окружности, если MN = 4 см, MO = 5 см.

Ре­ше­ние.

Соединим отрезком точки N и O; полученный отрезок – это радиус, проведенный в точку касания; поэтому ON перпендикулярно MN. Задача сводится к нахождению катета ON прямоугольного треугольника MON; получаем по теореме Пифагора 3 см.

Ответ: 3.

13. В треугольнике ABC угол С равен 90°, AC=30, BC= . Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ре­ше­ние.

Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора имеем:

 Ответ: 17,5.

14. (B7 №314807 ) Центральный угол AOB опирается на хорду AB так, что угол OAB равен 60°. Найдите длину хорды AB, если радиус окружности равен 8.

Ре­ше­ние.

В треугольнике AOB AO=OB=R (R- радиус окружности), следовательно, треугольник AOB равнобедренный. То есть . Найдем угол AOB:

Значит треугольник AOB – равносторонний.

AB=OB=AO=R=8.

Ответ: 8.

15. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 54°.

Ре­ше­ние.

Угол AOB является центральным углом, ACB – вписанным. Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, угол AOB в два раза больше угла ACB. Тем самым он равен 27°.

Ответ: 27°.

16. Точка О – центр окружности, угол AOB равен 84° (см рисунок).Найдите величину угла ACB (в градусах)

Ре­ше­ние.

Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу.

Ответ: 42°.