Задачи раздела "Комбинаторика"

1. В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трех видов спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют спортивные разряды по легкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Сколько школьников из этой команды имеют разряды по всем видам спорта, если по легкой атлетике и плаванию разряды имеют 2 человека, по легкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека.

1. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку 4 человека, по математике – 4 человека и по истории 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учатся без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

1. В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 владеют русским языком, 48 – английским, 32 – немецким, 21 – русским и английским, 19 – английским и немецким, 15 – русским и немецким, а 10 человек владели всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

1. Сколько среди натуральных чисел от 1 до 100 таких, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

1. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 3 – капусту и морковь, 1 – любил все. Сколько детей в семье?

1. В молодежном лагере отдыха было 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

1. Вычислить:

1) 6! – 5! 2) 4! ∙ 2! 3) 4)

5) 6)

1. Что больше:

а) 6! ∙ 5 или 5! ∙ 6 ; б) (n + 1)! ∙ n или n! (n + 1)?

1. Сократить: а) ; б) ;

в) ; г) .

1. Решить уравнение:

а) n! = 7 ∙ (n – 1)!; б) (m + 17)! = 420 ∙ (m + 15)!;

в) (k – 10)! = 77 ∙ (k – 11)!; г) (3x)! = 504 ∙ (3x – 3)!;

д) ; е) .

1. Изучается 7 дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если должно быть 4 различных урока?

2. Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

3. На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4х100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

4. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Сколькими способами абонент мог набрать эти цифры?

5. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:

а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8?

1. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:

а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

1. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

2. Сколько различных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, таких, которые являются: а) четными; б) кратными 5?

3. Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трех различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?

4. Из группы туристов требуется выбрать дежурного и его помощника. Если туристов было бы на одного больше, то возможностей выбора было бы в 1,25 раза больше. Сколько туристов в группе?

5. Сколькими способами четыре пассажира – Алексеев, Смирнов, Федоров и Харитонов – могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:

а) все они хотят ехать в разных вагонах;

б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Федоров и Харитонов – в других вагонах, причем различных?

1. В контрольной работе будет пять задач – по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

А) общее число всех возможных вариантов контрольной работы;

Б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;

В) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи;

Г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.

1. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут повторяться?

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова:

А) «камзол», Б) «здание»?

1. А) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

Б) Сколько среди них чисел, кратных 5?

В) Сколько среди них чисел, кратных 11?

Г) Сколько среди них чисел, кратных 3?

1. В девятом классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на этот день?

2. В гостинице семь одноместных номеров, и семеро гостей желают в них разместиться, причем трое заранее зарезервировали конкретные номера. Найдите число способов расселения семи гостей по семи номерам.

3. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

4. Сколько различных правильных (с точки зрения русского языка) фраз можно составить, изменяя порядок слов в предложении:

а) «Я пошел гулять»;

б) «Во дворе гуляет кошка»?

1. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

2. Сколько чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, таких, которые:

а) большие 3000;

б) большие 2000?

1. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Олег должен находиться в конце ряда;

б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом.

1. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы К, О, Н стоят рядом?

2. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом?

3. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных?

1. Сколько существует способов выбрать троих ребят из четверых желающих дежурить по столовой?

2. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

1. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

2. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трех человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;

б) Иванов и Петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров – остаться?

1. Из группы туристов четырех дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?

2. Выпишите все пятизначные числа, записанные тремя четверками и двумя единицами.

3. Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов, и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки.

а) Сколько встреч было между футболистами?

б) Сколько встреч было между хоккеистами?

в) Сколько встреч было между футболистами и хоккеистами?

г) Сколько встреч было всего?

1. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой.

1. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите:

а) число всех возможных вариантов выбора;

б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть 4 туза;

в) число вариантов, при которых все полученные карты – пики;

г) число вариантов, при которых все полученные карты – одной масти.

1. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что:

а) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой;

б) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе;

в) певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В;

г) 6 певцов накануне сорвали голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую партию.

1. Двенадцать рабочих надо разбить на три бригады по 4 человека.

а) сколько может быть различных составов бригад?

б) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В окажутся вместе?

в) Сколько из них тех, в которых рабочие Д и Е окажутся вместе?

г) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В по одному окажутся в разных бригадах?

1. В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?

1. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвовало 20 человек, и никому не дают двух книг сразу? Та же задача, если никому не дают двух экземпляров одной и той же книги, но могут быть вручены две или три различные книги.

2. Сколько трехзначных номеров можно составить из девяти цифр 1, 2, …, 9?

3. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.

4. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительные оценки?

5. В селении проживает 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы.

6. Имеется 3 курицы, 4 утки и 2 гуся. Сколько имеется комбинаций для выбора нескольких птиц так, чтобы среди выбранных были и курицы, и утки, и гуси?

7. Трое юношей и две девушки выбирают место работы. В городе есть 3 завода, где требуются рабочие в литейные цеха (туда берут лишь мужчин), 2 ткацкие фабрики (приглашают женщин) и 2 фабрики, где требуются и мужчины, и женщины. Сколькими способами могут они распределиться между этими предприятиями?

8. Сколькими способами можно раздать 27 книг лицам А, В и С так, чтобы А и В вместе получили вдвое больше, чем С?

9. В конкурсе на лучшую студенческую работу участвовало 15 человек. Сколькими способами можно распределить премии за первое, второе, третье места?

10. Предприятие по итогам деятельности должно было уплатить 10 различных налогов. Инспектор избрал упрощенную форму контроля, выбирая случайным образом для проверки правильности уплаты три вида налогов. Сколькими способами можно осуществить выбор?