Задание №11 ЕГЭ по математике базового уровня. Разбор типовых заданий

Подготовка к ЕГЭ 2025 год

задание 11

Базовый уровень

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 11 указывается « Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы ».

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 11.

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

! Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила).

Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового «куба». Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

Ответ: 14.

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ. 17.

  От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько ребер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ. 45.

  От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ. 30.

От деревянного кубика отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ. 14.

От деревянного кубика отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько ребер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ. 36.

От деревянного кубика отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ. 24.

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ. 11.

  От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько ребер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ. 27.

  От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ. 18.

Плоскость, проходящая через точки  А, В и С  (см рис.), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько ребер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

Плоскость, проходящая через точки  А, В и С  (см рис.), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько ребер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

Построим сечение, проходящее через точки А, В и С.

Из рисунка видно, что у многогранника

с большим числом вершин 12 ребер.

Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

Плоскость отсекает от тетраэдра тетраэдр поменьше с правой нижней вершиной — у него 4 вершины.

У оставшегося же многогранника 6 вершин — 3 от исходного тетраэдра и вершины        

Ответ: 6

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  C , разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у многогранника, у которого больше граней ? Ответ . 7.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  C , разбивает куб на два многогранника. Сколько ребер у многогранника, у которого больше ? Ответ. 15.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  C , разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у многогранника, у которого больше ? Ответ. 10.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  C , разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у многогранника, у которого меньше граней ? Ответ . 5.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  C , разбивает куб на два многогранника. Сколько ребер у многогранника, у которого меньше ? Ответ. 9.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  C , разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у многогранника, у которого меньше ? Ответ. 6.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  С , разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько рёбер у многогранника, у которого больше вершин? Ответ. 12.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  С , разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько граней у многогранника, у которого больше ? Ответ. 6.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  С , разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у многогранника, у которого больше ? Ответ. 8.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  С , разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько рёбер у многогранника, у которого меньше ? Ответ. 9.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  С , разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько граней у многогранника, у которого меньше ? Ответ. 5.

Плоскость, проходящая через три точки  A ,  B  и  С , разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у многогранника, у которого меньше ? Ответ. 6.

Плоскость, проходящая через точки  A ,  B  и  C  (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

Ответ. 9.

Плоскость, проходящая через точки  A ,  B  и  C  (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с большим ?

Ответ. 6.

Плоскость, проходящая через точки  A ,  B  и  C  (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с большим ?

Ответ. 5

Плоскость, проходящая через точки  A ,  B  и  C  (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим ? Ответ. 4.

Плоскость, проходящая через точки  A ,  B  и  C  (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько ребер у получившегося многогранника с меньшим ?

Ответ. 6.

Плоскость, проходящая через точки  A ,  B  и  C  (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с меньшим ?

Ответ. 4.

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

! Алгоритм выполнения:

• Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
• Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
• Найти отношение объемов.
• Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
• Сократить получившуюся дробь.

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

V 1  = a 1  · b 1  · c 1

V 2  = a 2  · b 2  · c 2

Найдем отношение объемов.

V 1  / V 2  = (a 1  · b 1  · c 1 )/ ( a 2  · b 2  · c 2 )

По условию c 1  = 4,5 c 2  (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй),

b 2  = 3 b 1  (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a 2  = 3 a 1

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V 1  / V 2  = (a 1  · b 1  · c 1 )/ ( a 2  · b 2  · c 2 ) = (a 1  · b 1  · 4,5c 2 )/ ( 3a 1  · 3b 1  · c 2 ) = (a 1  · b 1  · 4,5c 2 )/ ( 9a 1  · b 1  · c 2 )

Сократим получившуюся дробь на a 1  · b 1  · c 2 . Получим:

V 1  / V 2  = (a 1  · b 1  · 4,5c 2 )/ ( 9a 1  · b 1  · c 2 ) = 4,5/9 = ½.

Объем первой коробки в 2 раза меньше объема второй.

Ответ: 2.

! Алгоритм выполнения:

• Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
• Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
• Найти отношение объемов.
• Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
• Сократить получившуюся дробь.

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

! Алгоритм выполнения

• Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно  V 1  и  V 2 .
• Фиксируем значение для  V 1 . Выражаем  V 2  через  V 1 . Находим значение  V 2 .
• Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см.

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Объем бака до погружения  V 1 =5 (л).

Т.к. после погружения детали объем стал равным  V 2 . Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому  V 2 =1,4 V 1 .

Отсюда получаем:  V 2 =1,4·5=7 (л).

Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:

V 2 –V 1 =7–5=2 (л).

2 л=2·1000=2000 (см 3 ).

! Алгоритм выполнения

• Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно  V 1  и  V 2 .
• Фиксируем значение для  V 1 . Выражаем  V 2  через  V 1 . Находим значение  V 2 .
• Переводим результат, полученный в литрах, в см 3 .

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне h=45 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания втрое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне h=45 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания втрое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Объём воды можно вычислить по формуле V=S×h, где S- площадь основания призмы. Так как объём не изменится, а площадь основания увеличится 3 ×3=9 раз, то высота уменьшится в 9 раз. Таким образом, вода окажется на уровне 45/9=5 см

В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Объём детали, погруженной в жидкость, равен объёму вытесненной жидкости. Тогда она равен

Ответ: 4500

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне h = 100 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 8 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

! Алгоритм выполнения

• Доказываем, что данные в условии конусы подобны.
• Определяем коэффициент подобия.
• Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

Применяем свойство подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициент подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса  V 1 , малого –  V 2 . Получим:

! Алгоритм выполнения

• Доказываем, что данные в условии конусы подобны.
• Определяем коэффициент подобия.
• Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости.

Поскольку по условию  V 1 =1600 мл, то  V 2 =1600/8=200 мл.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 12 высоты. Объём сосуда равен 640 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 840 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 120 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  1/2  высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости?

. Ответ: 200.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  1/2  высоты. Объём жидкости равен 30 мл . Найдите объём сосуда . Ответ: 240.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  1/2  высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Ответ:210.

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой

поверхности второго?

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой

поверхности второго?

! Алгоритм выполнения

• Записываем формулу для определения площади боковой поверхности цилиндра.
• Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего)

и 2-го (меньшего) цилиндров.

3. Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия.

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой

поверхности второго?

! Алгоритм выполнения

• Записываем формулу для определения площади боковой поверхности цилиндра.
• Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров.
• Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия.

Вывод: площадь боковой поверхности

1-го цилиндра больше в 12 раз.

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

! Алгоритм выполнения

• Записываем формулу для вычисления объема цилиндра.
• Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.
• Формируем формулы для объема

1-го и 2-го цилиндров.

4. Вычисляем отношение объемов.

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

! Алгоритм выполнения

• Записываем формулу для вычисления объема цилиндра.
• Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.
• Формируем формулы для объема

1-го и 2-го цилиндров.

4. Вычисляем отношение объемов.

V 1 =πR 1 2 H 1 ,

V 2 =πR 2 2 H 2 .

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вдвое выше второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго -  2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго цилиндра?

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

Домашнее задание:

задания № 11 в сборнике для подготовки к ЕГЭ

варианты 1-10

Спасибо за урок!