Задания №9-10 ЕГЭ по математике базового уровня. Разбор типовых заданий

Подготовка к ЕГЭ 2025 год

задание 9

Базовый уровень

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 9 указывается «умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии, умение оценивать размеры объектов окружающего мира».

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 10.

Чтобы решить задание 9 по математике базового уровня необходимо знать:

• основные понятия и формулы (это формулы площадей фигур — треугольника

(6 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции)

-что такое центральный и вписанный угол;

-основные тригонометрические соотношения.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат

1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат

1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Площадь трапеции может быть найдена, как произведение высоты на полусумму оснований. Из картинки видно, что высота равна 4 м, а основания равны 2 м и 5 м. Таким образом, площадь трапеции равна

Ответ: 14

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат

1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Площадь треугольника может быть найдена по формуле

Из рисунка ниже видно, что a=3 и h=7

Ответ: 10,5

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Площадь квадрата вычисляется по формуле

где а - сторона квадрата. Её можно найти из прямоугольного треугольника, в котором она является гипотенузой.

Тогда квадрат её длины (равный площади квадрата), по теореме Пифагора, равен:

Ответ: 17

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь закрашенного сектора равна 21?

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь закрашенного сектора равна 21?

Заметим, что закрашено 3 четверти от круга. Значит, площадь круга (4 четверти) равняется

Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах

Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах

Найдем величину центрального угла, который опирается на дугу АС:

Величина угла АОС равна 45°, следовательно, градусная мера дуги АС равна 45°.

Ответ: 45°.

На фрагменте географической карты схематично изображены очертания Большого пруда Екатерининского парка с островами (площадь одной клетки равна одному гектару). Оцените приближённо площадь Большого острова. Ответ дайте в гектарах с округлением до целого числа.

На фрагменте географической карты схематично изображены очертания Большого пруда Екатерининского парка с островами (площадь одной клетки равна одному гектару). Оцените приближённо площадь Большого острова. Ответ дайте в гектарах с округлением до целого числа.

Решение: 1 га = 10 000 м² 100*100*13≈13000 м²≈1 га Ответ:1

На фрагменте географической карты схематично изображены границы деревни Покровское и очертания озёр Малое и Большое (площадь одной клетки равна одному гектару). Оцените приближённо площадь озера Малое. Ответ дайте в гектарах с округлением до целого числа.

На фрагменте географической карты схематично изображены границы деревни Покровское и очертания озёр Малое и Большое (площадь одной клетки равна одному гектару). Оцените приближённо площадь озера Малое. Ответ дайте в гектарах с округлением до целого числа.

Ответ:2

На фрагменте географической карты схематично изображены границы города Выксы и очертания водоёмов (длина стороны квадратной клетки равна 1 км). Оцените приближённо площадь озера Карьер. Ответ дайте в квадратных километрах с округлением до целого числа.

На фрагменте географической карты схематично изображены границы города Выксы и очертания водоёмов (длина стороны квадратной клетки равна 1 км). Оцените приближённо площадь озера Карьер. Ответ дайте в квадратных километрах с округлением до целого числа.

Ответ:1

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

На фрагменте географической карты схематично изображены очертания водоёмов парка «Усадьба Троекурово» (площадь одной клетки равна 0,25 га). Оцените приближённо площадь Западного Троекуровского пруда. Ответ дайте в гектарах с округлением до целого числа.

Подготовка к ЕГЭ 2025 год

задание 10

Базовый уровень

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 10 указывается «умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии».

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 10.

ПЕРИМЕТР

• ПЕРИ́МЕТР  (др. греч. περιμετρέο —  измеряю вокруг ) — общая длина границы фигуры.

Решение

30+40+30 = 100

Ответ: 100

Решение

40 + 55 + 40 + 55 – 3 = 187

Ответ: 187

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах .

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах .

! Алгоритм выполнения

• Вычислить периметр прямоугольника.
• Прибавить длину разделяющей части.

P = 30 м + 30 м + 25 м + 25 м = 110 м.

110 м – длина забора без перегородки.

Прибавим длину разделяющей части.

По рисунку видно, что длина разделяющей части 25 м.

110 м + 25 м = 135 м.

Решение

2* (30 + 25) + 2*15 = 140

Ответ: 140

ПЛОЩАДЬ

ПЛОЩАДЬ – численная характеристика двумерной геометрической фигуры, которая показывает размер этой фигуры.

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 и 45 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 7 м. Найдите площадь оставшейся части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.

! Алгоритм выполнения

• Находим площадь прямоугольного участка.
• Находим площадь квадратного дома.
• Находим разность этих площадей, отняв от большего числа меньшее.

35 · 45 = 1575 (кв.м) – площадь всего участка

7 · 7 = 49 (кв.м) – площадь дома

1575 – 49 = 1526 (кв.м) – площадь оставшейся части участка

Решение

25*30=750

15*15 = 225

750-225=525

Ответ: 525

Решение

5,1*4=20,4

20,4-20,1=0,3

Ответ: 0,3

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Теорема Пифагора  — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах.

! Алгоритм выполнения

Приставленная к стене лестница образует с этой стеной и горизонтальной площадкой возле дома прямоугольный треугольник. Высота, на которой находится верхний конец лестницы, является одним из катетов этого треугольника. Следовательно, для нахождения ее величины нужно использовать теореме Пифагора.

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м?

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м?

! Алгоритм выполнения

• Рассматриваем 2 подобных треугольника. В первом стороны образуют линия фонаря и расстояние от его основания до верхней точки тени от человека. Во втором – линия роста человека и линия его тени.
• Поскольку треугольники подобны, то можем соотнести соответствующие стороны и оставить из этих отношений пропорцию.
• Из полученной пропорции выражаем искомую величину. Вычисляем ее.

Обозначим искомое расстояние через  х .

Из рисунка имеем 2 треугольника. Один (больший) построен на сторонах 5 м и ( х +9) м. Другой (меньший) – 1,8 м и 9 м. Составим пропорцию из отношений соответствующих сторон этих треугольников:

5 : 1,8 = ( х  + 9) : 9.

Из пропорции получим:

5 · 9 = 1,8 · ( х  + 9)

1,8 х  + 16,2 = 45

1,8 х  = 28,8

х  = 16 (м)

ОКРУЖНОСТЬ

Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 16:00?

Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 16:00?

! Алгоритм выполнения

• Сначала мы найдем, сколько в градусах занимает один час.
• Затем найдем угол, который образуют стрелки в 16:00

Так как вся окружность — 360°, а часов 12, то один час:

360° : 12 = 30°

Значит, в четыре часа угол будет равен:

30° • 4 = 120°

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,25 м, а наибольшая высота h2 равна 2,25 м. Ответ дайте в метрах.

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,25 м, а наибольшая высота h2 равна 2,25 м. Ответ дайте в метрах.

! Алгоритм выполнения

• Определить, что за фигура на рисунке.
• Вспомнить определение средней линии трапеции.
• Записать формулу для нахождения средней линии трапеции.
• Подставить данные.
• Вычислить среднюю линию трапеции.

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры 3,5 мм×3,5 м, вторая комната —3,5 м×4 м, санузел имеет размеры 1,5 м×1,5 м, длина коридора  11 м . Найдите площадь первой комнаты (в квадратных метрах).

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры 3,5 м × 3 м, первая комната —3,5 м × 5 м, санузел имеет размеры 1,5 м × 2 м, длина коридора 9,5 м.  Найдите площадь второй комнаты (в квадратных метрах).

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 21,2 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4 м, а длина 5,4 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?

На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 15°?

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 20 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах.

Домашнее задание:

задания №9-10 в сборнике для подготовки к ЕГЭ

варианты 1-10

Спасибо за урок!