Задание № 16. Задачи на оптимальный выбор. Оплата труда

Задание 17 ЕГЭ по математике (профиль). Задачи на оптимальный выбор. Владельцы заводов. Оплата труда

Задача 1. (№ 512665)

Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t³ часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно  t³  часов в неделю, они производят t приборов.  

За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на  оплату труда рабочих?

Решение:

Составим таблицу:

или

не удовлетворяет условию задачи

f ’(x) +

f

Значит, точка минимума функции и в ней функция принимает наименьшее значение. Поскольку количество изготовленных приборов будет выражаться числом натуральным, то наименьшая сумма, необходимая для выплаты рабочим, будет достигнута либо при x = 6, либо при x = 7.

Следовательно, искомая сумма 3 569 000 рублей.

Ответ: 3 569 000 рублей.

Задача 1. (№ 511227)

В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение:

Составим таблицу:

f ’(x) +

f

4,8

Значит, точка минимума функции и в ней функция принимает наименьшее значение. Так как точка минимума не является натуральным числом, то исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

,

.

Следовательно, необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у. е.

Примечание. Вместо исследования с помощью производной, можно было решить так:

квадратичная функция, старший коэффициент положителен, следовательно, она имеет наименьшее значение при   4,8. Так как 4,8 N, то исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

,

.

Следовательно, необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Задания для самостоятельного решения:

1. (№ 518117)

Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t ² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Ответ: 700000 рублей.

2. (№ 510075)

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Ответ: 5 800 000 рублей