Задание 24 ОГЭ. Углы.

ЗАДАНИЕ 24 ОГЭ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ.

УГЛЫ.

1. (76, 315054) Найдите угол , если его сторона касается окружности, – центр окружности, а дуга окружности, заключённая внутри этого угла, равна .

Решение.

Так как дуга равна , то центральный угол , опирающийся на эту дугу, также равен . Значит, по свойству смежных углов: .

– прямоугольный, у него , т.к. касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому, по сумме углов треугольника: .

Ответ: 10°

1. (340905, 333347, 339400) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

Решение.

Рассмотрим и .

по I признаку подобия треугольников. Значит, стороны этих треугольников пропорциональны: . Т.к. , то . Получаем пропорцию: . По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов: . Решив данное уравнение, находим: .

Ответ: 15.

1. (311548) Найдите величину угла , если – биссектриса угла – биссектриса угла .

Решение.

Так как – биссектриса , то .

Так как – биссектриса , . По свойству смежных углов .

Ответ: .

1. (311649) На сторонах угла и на его биссектрисе отложены равные отрезки и . Величина угла равна . Определите величину угла .

Решение.

Так как – биссектриса , то .

Рассмотрим и .

(по I признаку равенства треугольников), следовательно, . Кроме того, и равнобедренные, значит, . По условию известно, что . Значит, (по сумме углов треугольника).

Итак, .

Ответ: .

1. (315053) В треугольнике ABC углы и равны и соответственно. Найдите угол между высотой и биссектрисой .

Решение.

По сумме углов треугольника находим:

. Так как – биссектриса , то

.

Так как – высота, то – прямоугольный. В этом треугольнике

. Значит, .

Ответ: .

1. (314819) Стороны треугольника равны соответственно. Точка расположена вне треугольника , причём, отрезок пересекает сторону в точке, отличной от . Известно, что треугольник с вершинами и подобен исходному. Найдите косинус угла , если .

Решение.

Так как и , то – тупоугольный с тупым углом (наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: . По теореме косинусов: . Из этой формулы выражаем .

Ответ: .

ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. (206, 315056) Найдите угол , если его сторона касается окружности, – центр окружности, а дуга окружности, заключённая внутри этого угла, равна .

1. (315034) Найдите угол , если его сторона касается окружности, – центр окружности, а дуга окружности, заключённая внутри этого угла, равна .

1. (315059) Найдите угол , если его сторона касается окружности, – центр окружности, а дуга окружности, заключённая внутри этого угла, равна .

1. (311554) Найдите величину угла , если – биссектриса угла – биссектриса угла .

1. (311257, 311648) На сторонах угла , равного , и на его биссектрисе отложены равные отрезки и . Определите величину угла .

1. (315125) В треугольнике ABC углы и равны и соответственно. Найдите угол между высотой и биссектрисой .

1. (154, 315007) В треугольнике ABC углы и равны и соответственно. Найдите угол между высотой и биссектрисой .

1. (315025) В треугольнике ABC углы и равны и соответственно. Найдите угол между высотой и биссектрисой .

1. (333321, 351967) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

1. (341026, 339567) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

1. (352582) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

1. (350188) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

2. (351913) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

1. (352159) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

1. (339501) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

1. (339593) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

1. (340968, 349284) Отрезки и лежат на параллельных прямых, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

ОТВЕТЫ.

3