Замечательное число "е"

С замечательным числом   мы впервые встречаемся, начиная изучать показательную функцию, логарифмы и производные.

Мы знаем о важнейшем свойстве функции   — при  эта функция очень быстро растет. И не просто «быстро растет» — чем больше  , тем больше скорость ее роста, тем круче идет график. Можно сказать, что с увеличением   растут и значения показательной функции, и ее производная. А если аргументом показательной функции   является время, то при

  эта такая функция является математическим выражением стремительно развивающегося процесса.

Среди показательных функций есть особенная. Называется она экспонентой, ее формула  . Особенность ее в том, что в каждой точке скорость роста этой функции равна значению самой функции в этой точке. Другими словами,  , то есть производная функции  . равна ей самой.

Нарисуем несколько графиков функции   при  , а также при  . Среди этих графиков есть такой, что касательная к нему, проведенная в точке , идет ровно под углом 45∘ к положительному направлению оси  .

Это и есть график функции  . Само число   — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приблизительно оно равно 2,718.

Логарифм по основанию   называется натуральным и обозначается  . Если в уравнении или неравенстве вам встретились такие логарифмы, вы работаете с ними так же, как и с любыми другими, у которых основание больше 1.

Функция   также обладает интересным свойством:

Это значит, что с ростом   график логарифмической функции идет более и более полого, скорость роста его уменьшается, что мы и видим:

Формулы для производных функций   и   содержат в себе выражение  :

;

.

Число   , как и число  , является одной из мировых констант. Так называют числа, которые можно встретить в математических формулах, выражающих фундаментальные законы природы, — в физике, статистике, биологии или экономике.

Число   известно людям с глубокой древности. Оно равно отношению длины окружности к ее диаметру.  А вот с числом    (названным так в честь великого математика Леонарда Эйлера) человечество познакомилось намного позже. Впервые его вычислил математик Якоб Бернулли в начале XVIII века, причем сделал это, решая чисто практическую задачу о начислении процентов на банковский вклад.

В заданиях вариантов ЕГЭ вам встречались задачи, где вклад величиной   помещен в банк под  % годовых. Найти нужно было, например, каким станет вклад через два года. Рассказывая о решении таких задач, мы вывели удобные формулы:

• если величину     увеличить на   процентов, получится  ;

• если величину     дважды увеличить на    процентов, получим  Именно таким станет вклад через два года;

• если вклад пролежит в банке  лет, его величина станет равной  .

Итак, если вклад поместить банк под 10% годовых, он вырастет за год в 1,1 раза, за два года — в 1,21 раза, за десять — примерно в 2,6 раза. Значит, рост вклада зависит от того, сколько он пролежит в банке, то есть сколько раз начисляются проценты. А что будет через сто лет? А если найти такой банк, где процент начисляется не раз в год, а раз в день? И пусть даже каждый день начисляется совсем небольшой процент, но ведь дней-то много! Верно ли, что можно положить в такой банк один доллар под одну сотую процента в день, а через пару десятков лет забрать из банка миллион?

Давайте так и сформулируем задачу. Пусть банк начисляет каждый день по одной сотой процента. Во сколько раз вырастет вклад через 10000 дней (это двадцать семь с лишним лет)? Иными словами, чему приближенно равна величина  и к чему будет стремиться величина  , если   стремится к бесконечности?

Вот такую задачу и решал Бернулли. Если   будет очень большим, или, как говорят математики, бесконечно большим, будет стремиться к бесконечности (то есть больше миллиона, больше миллиарда, больше двух миллиардов. . . ) — то величина   будет, наоборот, очень малой. Можно сказать, что   будет стремиться к нулю.

Оказывается, что в этом случае величина   будет стремиться к числу  . Если банк каждый год начисляет по 1%, через 100 лет вклад увеличится примерно в   раз (напомним, что  ≈2,718). Еще большая точность будет достигнута, если каждый день банк начисляет по 0,01 процента. Через 10000 дней вклад увеличится примерно в    раз. Итак, если   стремится к бесконечности, то величина  стремится к числу  .

Этот неожиданный факт называется вторым замечательным пределом